Chào mừng bạn đến với bài viết lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 của giaibaitoan.com. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về phương trình và các yếu tố liên quan đến mặt cầu.
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về lý thuyết, các công thức quan trọng, và các ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức một cách dễ dàng và hiệu quả.
1. Định nghĩa mặt cầu
1. Định nghĩa mặt cầu
| Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm I bán kính r, kí hiệu S(I;r) hay (S). |
Lưu ý: Cho mặt cầu S(I;r) và điểm M bất kì trong không gian.
- Nếu IM = r thì M nằm trên mặt cầu S(I;r).
- Nếu IM < r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).
- Nếu IM > r thì M nằm ngoài mặt cầu S(I;r).
Ví dụ:
- Điểm M nằm trên mặt cầu (S). - Điểm N nằm trong mặt cầu (S). - Điểm P nằm ngoài mặt cầu (S).
- Nếu hai điểm A, B nằm trên mặt cầu S(I;r) và đoạn thẳng AB đi qua tâm I thì AB được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó độ dài đường kính bằng 2r. - Một mặt cầu được xác định khi ta biết tâm và bán kính hoặc biết một đường kính của nó.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu tâm I(-2;1;5) bán kính 3. Các điểm A(10;1;2), B(0;1;4), C(0;3;4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu đó?
Giải:
Do \(IA = \sqrt {{{\left( {10 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {153} > 3\) nên điểm A(10;1;2) nằm ngoài mặt cầu đó.
Do \(IB = \sqrt {{{\left( {0 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 5 < 3\) nên điểm B(0;1;4) nằm trong mặt cầu đó.
Do \(IC = \sqrt {{{\left( {0 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2}} = \sqrt 9 = 3\) nên điểm C(0;3;4) nằm trên mặt cầu đó.
2. Phương trình mặt cầu
Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\). |
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình:
a) \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16\).
b) \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4\).
Giải:
a) Ta có \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - ( - 2))^2} + {(z - 3)^2} = {4^2}\).
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.
b) Ta có \({(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4 \Leftrightarrow {(x - ( - 2))^2} + {(y - 0)^2} + {(z - ( - 3))^2} = {2^2}\).
Vậy đây là phương trình mặt cầu có tâm I(-2;0;-3) và bán kính r = 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu, biết:
a) Có tâm I(1;2;3), bán kính R = 10.
b) Có tâm I(3;-1;-5) và đi qua điểm B(0;2;1).
Giải:
a) Phương trình của mặt cầu tâm I(1;2;3) bán kính R = 10 là \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^3} = 100\).
b) Bán kính mặt cầu là \(R = IB = \sqrt {{{(0 - 3)}^2} + {{(2 + 1)}^2} + {{(1 + 5)}^2}} = \sqrt {54} \).
Phương trình mặt cầu tâm I(3;-1;-5) bán kính \(R = \sqrt {54} \) là \({(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z + 5)^3} = 54\).
Nhận xét:
Cho mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính r có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\). Ta có thể viết phương trình đó dưới dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}\).
Dạng phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) xác định một mặt cầu khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) với tâm I(a;b;c) và bán kính \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).
Ví dụ 3: Mỗi phương tình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?
a) \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\).
b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\).
Giải:
a) Phương trình \(2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) khác nhau.
b) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0\) không phải phương trình mặt cầu vì không có biểu thức \({z^2}\).
Ví dụ 4: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó.
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\).
b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\).
Giải:
a) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = 2;b = - 5;c = 1;d = 14\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 25 + 1 - 14 = 16 > 0\).
Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2;-5;1), bán kính R = 4.
b) Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \(a = - 1;b = - 2;c = 3;d = 20\).
Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 + 9 - 20 = - 6 < 0\).
Suy ra phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt cầu là một trong những chủ đề quan trọng của Hình học không gian lớp 12. Hiểu rõ lý thuyết và cách áp dụng sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về lý thuyết phương trình mặt cầu, bao gồm định nghĩa, các dạng phương trình, và cách xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R được viết như sau:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²
Trong đó:
Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:
x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0
Trong đó:
Từ phương trình chính tắc hoặc phương trình tổng quát, ta có thể xác định tâm và bán kính của mặt cầu một cách dễ dàng.
Tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính là R = √R².
Tâm của mặt cầu là I(a; b; c) và bán kính là R = √(a² + b² + c² - d).
Đây là dạng bài tập cơ bản, yêu cầu học sinh biến đổi phương trình về dạng chính tắc hoặc sử dụng công thức để xác định tâm và bán kính.
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh áp dụng phương trình chính tắc để viết phương trình mặt cầu.
Yêu cầu học sinh kiểm tra điều kiện a² + b² + c² - d > 0.
Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9.
Giải: Tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3) và bán kính là R = √9 = 3.
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2; -1; 0) và bán kính R = 5.
Giải: Phương trình mặt cầu là (x - 2)² + (y + 1)² + z² = 25.
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 là một phần quan trọng của chương trình Hình học không gian. Việc nắm vững lý thuyết và các công thức liên quan sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong việc học tập.
