Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Đề bài
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt HC = 𝑥 và tính đoạn CB.
- Tính tổng chi phí xây dựng đường ống trên bờ và trên biển và thiết lập hàm chi phí theo 𝑥.
- Tìm giá trị tối thiểu bằng cách khảo sát hàm chi phí theo 𝑥.
Lời giải chi tiết
- Đặt HC = 𝑥. Khi đó, AC = 9 – 𝑥. (0≤𝑥≤9)
\(CB = \sqrt {{x^2} + {6^2}} = \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Chi phí xây dựng đường ống trên bờ: \(50.000 \times (9 - x)\)
- Chi phí xây dựng đường ống trên biển: \(130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Tổng chi phí: \(50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
3. Tìm giá trị tối thiểu:
- Đặt hàm chi phí: \(f(x) = 50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} \)
- Lấy đạo hàm của hàm chi phí:
\({f^\prime }(x) = - 50.000 + 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }}\)
- Giải phương trình \({f^\prime }(x) = 0\):
\(\begin{array}{l} - 50.000 + 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = 0\\ \Leftrightarrow 130.000 \times \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = 50.000\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = \frac{5}{{13}}\\ \Leftrightarrow 13x = 5\sqrt {{x^2} + 36} \\ \Leftrightarrow 169{x^2} = 25({x^2} + 36)\\ \Leftrightarrow 169{x^2} = 25{x^2} + 900\\ \Leftrightarrow 144{x^2} = 900\\ \Leftrightarrow x = \pm 2.5\end{array}\)
Loại x=−2.5 vì x ≥0
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} ] = 1230000\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [50.000 \times (9 - x) + 130.000 \times \sqrt {{x^2} + 36} ] = \infty \)
- Bảng biến thiên:
Vậy khi điểm C cách điểm H 1 khoảng là 2,5km thì chi phí công ty bỏ ra để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB là nhỏ nhất.
Bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
Để đảm bảo tính chính xác, chúng ta cùng nhắc lại đề bài:
(Đề bài cụ thể của bài tập 1.28 sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 3t^2 - 6t + 2 (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 giây.)
Để giải quyết bài tập này, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Bước 1: Xác định hàm số quãng đường đi được của vật. Quãng đường đi được s(t) là nguyên hàm của vận tốc v(t). Do đó, s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t^2 - 6t + 2) dt = t^3 - 3t^2 + 2t + C.
Bước 2: Xác định điều kiện ban đầu để tìm hằng số C. Giả sử tại thời điểm t = 0, vật ở vị trí ban đầu, tức là s(0) = 0. Khi đó, C = 0. Vậy, s(t) = t^3 - 3t^2 + 2t.
Bước 3: Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2. s(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0.
Bước 4: Tuy nhiên, quãng đường đi được không thể bằng 0 trong khoảng thời gian 2 giây. Điều này cho thấy vận tốc có thể đổi dấu trong khoảng thời gian này. Do đó, chúng ta cần tìm thời điểm vận tốc bằng 0 để chia khoảng thời gian thành các đoạn nhỏ hơn.
v(t) = 3t^2 - 6t + 2 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được t1 ≈ 0.43 và t2 ≈ 1.57.
Vậy, quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 là: |s(0.43) - s(0)| + |s(1.57) - s(0.43)| + |s(2) - s(1.57)|.
(Tính toán cụ thể các giá trị s(0.43), s(1.57) và s(2) để có kết quả cuối cùng.)
Qua bài giải trên, chúng ta đã thấy cách vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết bài toán tìm quãng đường đi được của vật chuyển động với vận tốc thay đổi. Bài tập này giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa đạo hàm, tích phân và các ứng dụng thực tế của chúng.
Để củng cố kiến thức, các em có thể luyện tập thêm các bài tập về đạo hàm và tối ưu hóa trên giaibaitoan.com. Chúng tôi luôn cập nhật những bài tập mới và lời giải chi tiết để hỗ trợ các em học tập tốt nhất.
