Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là: \(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\) Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.
Đề bài
Trong Vật lí, khi một điện trở ngoài có giá trị R (Ω) được nối qua một nguồn điện E (V) với một điện trở trong r (Ω) thì công suất (tính bằng W) của điện trở ngoài là:
\(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\)
Khi R thay đổi, E và r cố định, ta xem P là hàm số theo R. Tìm công suất lớn nhất của điện trở ngoài.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Khảo sát hàm số P(R).
- Lấy đạo hàm của P theo R và đặt bằng 0.
- Giải phương trình đạo hàm để tìm giá trị R cực đại.
- Kiểm tra điều kiện để đảm bảo đó là giá trị cực đại.
- Tính giá trị công suất lớn nhất tại R đó.
Lời giải chi tiết
Ta có hàm số \(P(R) = \frac{{{E^2}R}}{{{{(R + r)}^2}}}\)
Lấy đạo hàm của P theo R:
\[P'(R) = \frac{{dP}}{{dR}} = \frac{{{E^2}.{{(R + r)}^2} - {E^2}R.2(R + r)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({R^2} + 2Rr + {r^2} - 2{R^2} - 2Rr)}}{{{{(R + r)}^4}}} = \frac{{{E^2}({r^2} - {R^2})}}{{{{(R + r)}^4}}}\]
Đặt P(R)=0 suy ra: \({r^2} - {R^2} = 0 \Leftrightarrow {R^2} = {r^2} \Rightarrow R = r\)
Lấy đạo hàm cấp hai của P theo R:
\(P''(R) = \frac{{ - 2{E^2}R.{{(R + r)}^4} - {E^2}({r^2} - {R^2}).4{{(R + r)}^3}}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}{{(R + r)}^4}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^8}}} = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {R - 2(r - R)} \right]}}{{{{(R + r)}^4}}}\)
Với R = r thì ta có:
\(P''(r) = \frac{{ - 2{E^2}\left[ {r - 2(r - r)} \right]}}{{{{(r + r)}^4}}} = \frac{{ - 2{E^2}r}}{{{r^5}}} = \frac{{ - 2{E^2}}}{{{r^4}}} < 0\)
Vì đạo hàm cấp hai tại R = r là âm, điều này xác nhận rằng R = r là một điểm cực đại.
Vậy công suất lớn nhất của điện trở ngoài khi R = r là: \({P_{\max }} = \frac{{{E^2}}}{{4r}}\)
Bài tập 1.37 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
f'(x) = 3x2 - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được:
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Vậy, hàm số có hai điểm dừng là x = 0 và x = 2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
limx→-∞ f(x) = -∞ và limx→+∞ f(x) = +∞.
Dựa trên các thông tin đã thu thập, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Để nâng cao kỹ năng giải bài tập về khảo sát hàm số, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú ý đến việc áp dụng đúng các bước và công thức để đạt được kết quả chính xác nhất.
Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu thêm về các phương pháp khảo sát hàm số khác, như sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định điểm uốn của đồ thị hàm số.
Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm là rất quan trọng trong chương trình Toán 12. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!
