Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.46 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (f(x) = - {x^3} + 2{x^2} - 1) trên đoạn ([ - 1;2]) là A. ( - frac{{43}}{{27}}). B. ( - frac{5}{{27}}). C. -2 . D. ( - frac{{50}}{{27}}).
Đề bài
Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = - {x^3} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn \([ - 1;2]\) là
A. \( - \frac{{43}}{{27}}\)
B. \( - \frac{5}{{27}}\)
C. -2
D. \( - \frac{{50}}{{27}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm các giá trị của 𝑓(𝑥) tại các điểm đầu mút của đoạn và tại các điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0 trong đoạn.
Tính tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vừa tìm được.
Lời giải chi tiết
Đạo hàm của hàm số: \(f'(x) = - 3{x^2} + 4x\).
Đặt \(f'(x) = 0:\) \( - 3{x^2} + 4x = 0 \Rightarrow \{ _{x = \frac{4}{3}}^{x = 0}\)
Tính 𝑓(𝑥) tại các điểm \(x = - 1,x = 0,x = \frac{4}{3},x = 2\).
\(f( - 1) = - {( - 1)^3} + 2{( - 1)^2} - 1 = 1 + 2 - 1 = 2\).
\(f(0) = - {(0)^3} + 2{(0)^2} - 1 = - 1\).
\(f\left( {\frac{4}{3}} \right) = - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^3} + 2{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{{64}}{{27}} + \frac{{32}}{9} - 1 = - \frac{{64}}{{27}} + \frac{{96}}{{27}} - \frac{{27}}{{27}} = \frac{5}{{27}}\).
\(f(2) = - {(2)^3} + 2{(2)^2} - 1 = - 8 + 8 - 1 = - 1\).
Vậy giá trị lớn nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là -1.
Tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là -2.
Chọn C.
Bài tập 1.46 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
Tập xác định của hàm số là D = R.
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | ↗ | ↘ | ↗ |
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Điểm cực đại: x = 0, y = 2
Điểm cực tiểu: x = 2, y = -2
Dựa vào bảng biến thiên và các điểm cực trị, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bài tập 1.46 trang 49 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Bằng cách thực hiện các bước một cách cẩn thận và chính xác, các em có thể giải bài tập này một cách hiệu quả và nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
