Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Chúng tôi xin giới thiệu đến các em lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 1, trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2.
Với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, chúng tôi cam kết cung cấp cho các em những phương pháp giải bài tập hiệu quả nhất, giúp các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\).
a) Viết phương trình tham số của \(d\).
b) Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) biết \(OM = 7\).
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Với \({M_0} = A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), thay vào ta được phương trình tham số của \(d\).
b) Tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) từ phương trình tham số của \(d\). Dùng điều kiện \(OM = 7\), tức là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\), ta có:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay các tọa độ của \(M(x(t),y(t),z(t))\) từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ của \(M\).
Lời giải chi tiết:
a)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Với \(A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 2t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b)
Điểm \(M\) có tọa độ \((x,y,z)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) như sau:
\(M(6 + 2t, - 2 + 2t,3 - t)\)
Điều kiện \(OM = 7\) nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\) bằng 7:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình khoảng cách:
\(OM = \sqrt {{{(6 + 2t)}^2} + {{( - 2 + 2t)}^2} + {{(3 - t)}^2}} = 7\)
Bình phương hai vế:
\({(6 + 2t)^2} + {( - 2 + 2t)^2} + {(3 - t)^2} = 49\)
\({(6 + 2t)^2} = 36 + 24t + 4{t^2}\)
\({( - 2 + 2t)^2} = 4 - 8t + 4{t^2}\)
\({(3 - t)^2} = 9 - 6t + {t^2}\)
\((36 + 24t + 4{t^2}) + (4 - 8t + 4{t^2}) + (9 - 6t + {t^2}) = 49\)
\(49 + 10t + 9{t^2} = 49\)
\(10t + 9{t^2} = 0\)
\(t(9t + 10) = 0\)
Do đó, ta có hai nghiệm: \(t = 0\) và \(t = - \frac{{10}}{9}\)
Với \(t = 0\), tọa độ của \(M\) là:
\(M(6 + 2 \cdot 0, - 2 + 2 \cdot 0,3 - 0) = M(6, - 2,3)\)
Với \(t = - \frac{{10}}{9}\), tọa độ của \(M\) là:
\(M\left( {6 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right), - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right),3 - \left( { - \frac{{10}}{9}} \right)} \right)\)
\(M\left( {6 - \frac{{20}}{9}, - 2 - \frac{{20}}{9},3 + \frac{{10}}{9}} \right) = M\left( {\frac{{54}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{ - 18}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{27}}{9} + \frac{{10}}{9}} \right)\)
\(M\left( {\frac{{34}}{9},\frac{{ - 38}}{9},\frac{{37}}{9}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Phương trình tham số của đường thẳng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Giả sử \({a_1},{a_2},{a_3}\) đều khác 0. Hãy tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Phương pháp giải:
Tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\)
Các tỉ số này đều bằng \(t\), điều này chứng tỏ tất cả các tỉ số này bằng nhau, và đường thẳng \(d\) có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N( - 2;3;1)\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3; - 4;5)\).
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\).
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết \(A\) có hoành độ bằng 4.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng và các tỉ số giữa tọa độ của điểm trên đường thẳng với tọa độ của điểm qua và các thành phần của vectơ chỉ phương.
b) Tìm điểm thuộc đường thẳng: Sử dụng điều kiện hoành độ của A để tìm tham số \(t\) trong phương trình tham số của đường thẳng. Từ đó tính ra tọa độ của điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 3 - 4t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{5}\)
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết hoành độ của A là 4:
Điểm \(A\) thuộc \(d\) có tọa độ \(A(4;y;z)\).
Suy ra: \(t = \frac{{4 + 2}}{3} = 2\)
\(y = 3 - 4.2 = - 5\) và \(z = 1 + 5.2 = 11\)
Vậy điểm A có toạ độ là \(A(4; - 5;11)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua hai điểm phân biệt \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không? Vì sao?
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
c) Giả sử \({x_B} \ne {x_A},{y_B} \ne {y_A}\) và \({z_B} \ne {z_A}\), hãy viết phương trình chính tắc của \(d\).
Phương pháp giải:
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} \), sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Sử dụng tọa độ của điểm \(A\) hoặc \(B\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) để viết phương trình tham số của đường thẳng.
c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\):
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được xác định bởi:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\)
Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t}\\{y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t}\\{z = {z_A} + ({z_B} - {z_A})t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Giả sử \({x_A} \ne {x_B},{y_A} \ne {y_B},{z_A} \ne {z_B}\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với \(A(2; - 3;4)\), \(B( - 4;5;0)\). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \). Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.
Lời giải chi tiết:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = ( - 4 - 2;5 + 3;0 - 4) = ( - 6;8; - 4)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2; - 3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(( - 6;8; - 4)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 6t}\\{y = - 3 + 8t}\\{z = 4 - 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
\(\frac{{x - 2}}{{ - 6}} = \frac{{y + 3}}{8} = \frac{{z - 4}}{{ - 4}}\)
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M = \left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) = ( - 1;1;2)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(O(0;0;0)\) và \(M( - 1;1;2)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - t}\\{y = t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
\(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Anh Bình là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Bình đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ \((200;685;436)\) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ \((640;550;474)\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía.
b) Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là \((420;617,5;450)\). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Bình có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Phương pháp giải:
a) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Thay toạ độ C vào phương trình tham số của đường thẳng AB. Xác định giá trị tham số t và kiểm tra xem các tọa độ của C có thỏa mãn không.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = (640 - 200;550 - 685;474 - 436) = (440; - 135;38)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(200;685;436)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (440; - 135;38)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 + 440t}\\{y = 685 - 135t}\\{z = 436 + 38t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b) Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{420 = 200 + 440t}\\{617.5 = 685 - 135t}\\{450 = 436 + 38t}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình:
\(t = \frac{{420 - 200}}{{440}} = \frac{{220}}{{440}} = 0.5\)
\(t = \frac{{685 - 617.5}}{{135}} = \frac{{67.5}}{{135}} = 0.5\)
\(t = \frac{{450 - 436}}{{38}} = \frac{{14}}{{38}} \approx 0.368\)
Kết luận: Giá trị \(t\) không giống nhau cho cả ba phương trình, do đó điểm \(C\) không thuộc đường thẳng AB. Và vì \(450 < 436 + 38.0,5 = 455\) nên C thấp hơn đường thẳng AB. Vậy quả đồi không chắn tầm nhìn nên anh Bình có thể ngắm thấy con gà lôi tía này.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Tìm tất cả các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB.
Tìm các vectơ tương ứng với các cạnh đó, chính là các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đầu tiên là \(\overrightarrow {AB} \).
Các cạnh song song với AB gồm: A’B’, C’D’, CD.
Các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \)có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} ,\quad \overrightarrow {A'B'} ,\quad \overrightarrow {CD} ,\quad \overrightarrow {C'D'} ,\quad \overrightarrow {BA} ,\quad \overrightarrow {B'A'} ,\quad \overrightarrow {DC} ,\quad \overrightarrow {D'C'} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên \(d\)(Hình 5.18). Ta biết \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\vec a\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\).
a) Hãy tính tọa độ điểm \(M\) theo \({x_0},{y_0},{z_0},{a_1},{a_2},{a_3},t\).
b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để \(M(x;y;z) \in d\) là:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\]
Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Từ đó dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Vậy tọa độ của điểm \(M\) là:
\(M({x_0} + t{a_1},{y_0} + t{a_2},{z_0} + t{a_3})\)
b)
Vì d và \({M_0}M\) đều cùng song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên d và \({M_0}M\) song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác \({M_0} \in d\) suy ra \(M \in d\).
Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để \(M(x,y,z) \in d\) là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + t{a_1}}\\{y = {y_0} + t{a_2}}\\{z = {z_0} + t{a_3}}\end{array}} \right.\)
được thoả mãn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm S, A, B, C, D đã cho và là vectơ chỉ phương của d.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của vectơ chỉ phương: “Cho đường thẳng d, một vecto \(\overrightarrow u \)được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.”
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d song song với hai cạnh đáy AB và CD.
Suy ra vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {DC} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Tìm tất cả các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB.
Tìm các vectơ tương ứng với các cạnh đó, chính là các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đầu tiên là \(\overrightarrow {AB} \).
Các cạnh song song với AB gồm: A’B’, C’D’, CD.
Các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \)có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} ,\quad \overrightarrow {A'B'} ,\quad \overrightarrow {CD} ,\quad \overrightarrow {C'D'} ,\quad \overrightarrow {BA} ,\quad \overrightarrow {B'A'} ,\quad \overrightarrow {DC} ,\quad \overrightarrow {D'C'} \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm S, A, B, C, D đã cho và là vectơ chỉ phương của d.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của vectơ chỉ phương: “Cho đường thẳng d, một vecto \(\overrightarrow u \)được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.”
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d song song với hai cạnh đáy AB và CD.
Suy ra vectơ chỉ phương của d là: \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {DC} \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên \(d\)(Hình 5.18). Ta biết \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\vec a\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\).
a) Hãy tính tọa độ điểm \(M\) theo \({x_0},{y_0},{z_0},{a_1},{a_2},{a_3},t\).
b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để \(M(x;y;z) \in d\) là:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\]
Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Từ đó dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Lời giải chi tiết:
a)
Do \(\overrightarrow {{M_0}M} = t\vec a\), ta có:
\(\overrightarrow {{M_0}M} = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)
Dẫn đến hệ phương trình:
\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)
Vậy tọa độ của điểm \(M\) là:
\(M({x_0} + t{a_1},{y_0} + t{a_2},{z_0} + t{a_3})\)
b)
Vì d và \({M_0}M\) đều cùng song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên d và \({M_0}M\) song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác \({M_0} \in d\) suy ra \(M \in d\).
Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để \(M(x,y,z) \in d\) là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + t{a_1}}\\{y = {y_0} + t{a_2}}\\{z = {z_0} + t{a_3}}\end{array}} \right.\)
được thoả mãn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\).
a) Viết phương trình tham số của \(d\).
b) Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) biết \(OM = 7\).
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Với \({M_0} = A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), thay vào ta được phương trình tham số của \(d\).
b) Tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) từ phương trình tham số của \(d\). Dùng điều kiện \(OM = 7\), tức là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\), ta có:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay các tọa độ của \(M(x(t),y(t),z(t))\) từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ của \(M\).
Lời giải chi tiết:
a)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Với \(A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 2t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b)
Điểm \(M\) có tọa độ \((x,y,z)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) như sau:
\(M(6 + 2t, - 2 + 2t,3 - t)\)
Điều kiện \(OM = 7\) nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\) bằng 7:
\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} = 7\)
Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình khoảng cách:
\(OM = \sqrt {{{(6 + 2t)}^2} + {{( - 2 + 2t)}^2} + {{(3 - t)}^2}} = 7\)
Bình phương hai vế:
\({(6 + 2t)^2} + {( - 2 + 2t)^2} + {(3 - t)^2} = 49\)
\({(6 + 2t)^2} = 36 + 24t + 4{t^2}\)
\({( - 2 + 2t)^2} = 4 - 8t + 4{t^2}\)
\({(3 - t)^2} = 9 - 6t + {t^2}\)
\((36 + 24t + 4{t^2}) + (4 - 8t + 4{t^2}) + (9 - 6t + {t^2}) = 49\)
\(49 + 10t + 9{t^2} = 49\)
\(10t + 9{t^2} = 0\)
\(t(9t + 10) = 0\)
Do đó, ta có hai nghiệm: \(t = 0\) và \(t = - \frac{{10}}{9}\)
Với \(t = 0\), tọa độ của \(M\) là:
\(M(6 + 2 \cdot 0, - 2 + 2 \cdot 0,3 - 0) = M(6, - 2,3)\)
Với \(t = - \frac{{10}}{9}\), tọa độ của \(M\) là:
\(M\left( {6 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right), - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right),3 - \left( { - \frac{{10}}{9}} \right)} \right)\)
\(M\left( {6 - \frac{{20}}{9}, - 2 - \frac{{20}}{9},3 + \frac{{10}}{9}} \right) = M\left( {\frac{{54}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{ - 18}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{27}}{9} + \frac{{10}}{9}} \right)\)
\(M\left( {\frac{{34}}{9},\frac{{ - 38}}{9},\frac{{37}}{9}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Phương trình tham số của đường thẳng là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Giả sử \({a_1},{a_2},{a_3}\) đều khác 0. Hãy tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Phương pháp giải:
Tính các tỉ số \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}},\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}},\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) theo \(t\) và so sánh các tỉ số này.
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)
Ta có:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t\)
Các tỉ số này đều bằng \(t\), điều này chứng tỏ tất cả các tỉ số này bằng nhau, và đường thẳng \(d\) có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N( - 2;3;1)\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3; - 4;5)\).
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\).
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết \(A\) có hoành độ bằng 4.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng và các tỉ số giữa tọa độ của điểm trên đường thẳng với tọa độ của điểm qua và các thành phần của vectơ chỉ phương.
b) Tìm điểm thuộc đường thẳng: Sử dụng điều kiện hoành độ của A để tìm tham số \(t\) trong phương trình tham số của đường thẳng. Từ đó tính ra tọa độ của điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 3t}\\{y = 3 - 4t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{5}\)
b) Tìm điểm \(A\) thuộc \(d\) biết hoành độ của A là 4:
Điểm \(A\) thuộc \(d\) có tọa độ \(A(4;y;z)\).
Suy ra: \(t = \frac{{4 + 2}}{3} = 2\)
\(y = 3 - 4.2 = - 5\) và \(z = 1 + 5.2 = 11\)
Vậy điểm A có toạ độ là \(A(4; - 5;11)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua hai điểm phân biệt \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không? Vì sao?
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).
c) Giả sử \({x_B} \ne {x_A},{y_B} \ne {y_A}\) và \({z_B} \ne {z_A}\), hãy viết phương trình chính tắc của \(d\).
Phương pháp giải:
a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} \), sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Sử dụng tọa độ của điểm \(A\) hoặc \(B\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) để viết phương trình tham số của đường thẳng.
c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\):
Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được xác định bởi:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\)
Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t}\\{y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t}\\{z = {z_A} + ({z_B} - {z_A})t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):
Giả sử \({x_A} \ne {x_B},{y_A} \ne {y_B},{z_A} \ne {z_B}\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:
\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với \(A(2; - 3;4)\), \(B( - 4;5;0)\). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \). Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.
Lời giải chi tiết:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = B - A = ( - 4 - 2;5 + 3;0 - 4) = ( - 6;8; - 4)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2; - 3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(( - 6;8; - 4)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 6t}\\{y = - 3 + 8t}\\{z = 4 - 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
\(\frac{{x - 2}}{{ - 6}} = \frac{{y + 3}}{8} = \frac{{z - 4}}{{ - 4}}\)
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
\(M = \left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) = ( - 1;1;2)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(O(0;0;0)\) và \(M( - 1;1;2)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - t}\\{y = t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
\(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Anh Bình là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Bình đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ \((200;685;436)\) thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ \((640;550;474)\).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía.
b) Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là \((420;617,5;450)\). Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Bình có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Phương pháp giải:
a) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Thay toạ độ C vào phương trình tham số của đường thẳng AB. Xác định giá trị tham số t và kiểm tra xem các tọa độ của C có thỏa mãn không.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
\(\overrightarrow {AB} = (640 - 200;550 - 685;474 - 436) = (440; - 135;38)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(200;685;436)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = (440; - 135;38)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200 + 440t}\\{y = 685 - 135t}\\{z = 436 + 38t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
b) Thay tọa độ của \(C\) vào phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{420 = 200 + 440t}\\{617.5 = 685 - 135t}\\{450 = 436 + 38t}\end{array}} \right.\)
Giải phương trình:
\(t = \frac{{420 - 200}}{{440}} = \frac{{220}}{{440}} = 0.5\)
\(t = \frac{{685 - 617.5}}{{135}} = \frac{{67.5}}{{135}} = 0.5\)
\(t = \frac{{450 - 436}}{{38}} = \frac{{14}}{{38}} \approx 0.368\)
Kết luận: Giá trị \(t\) không giống nhau cho cả ba phương trình, do đó điểm \(C\) không thuộc đường thẳng AB. Và vì \(450 < 436 + 38.0,5 = 455\) nên C thấp hơn đường thẳng AB. Vậy quả đồi không chắn tầm nhìn nên anh Bình có thể ngắm thấy con gà lôi tía này.
Mục 1 của SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là nền tảng để các em tiếp thu các kiến thức phức tạp hơn ở các chương tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp cho các em lời giải chi tiết cho từng bài tập trong mục 1, trang 54, 55, 56, 57, 58, 59, đồng thời phân tích các phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Trước khi đi vào giải bài tập cụ thể, chúng ta cần nắm vững nội dung chính của Mục 1. Thông thường, mục này sẽ giới thiệu về một khái niệm mới, một định lý quan trọng, hoặc một phương pháp giải toán mới. Các em cần đọc kỹ lý thuyết trong sách giáo khoa và hiểu rõ các ví dụ minh họa trước khi bắt đầu giải bài tập.
Để giải bài tập Toán 12 tập 2 hiệu quả, các em cần áp dụng các phương pháp sau:
Bài 1: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết). Ví dụ: Bài 1 yêu cầu tính đạo hàm của hàm số y = x^3 - 2x^2 + 1. Lời giải: y' = 3x^2 - 4x.
Bài 2: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 3: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 4: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 5: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 6: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 7: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 8: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 9: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 10: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 11: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Bài 12: (Nội dung bài tập và lời giải chi tiết).
Trong quá trình giải bài tập, các em cần chú ý đến các dấu hiệu nhận biết, các công thức và định lý liên quan. Ngoài ra, các em cũng nên tham khảo các tài liệu tham khảo khác để mở rộng kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn khi làm bài kiểm tra.
Ví dụ, kiến thức về đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong việc tìm cực trị của hàm số, vẽ đồ thị hàm số, và giải các bài toán tối ưu hóa. Việc hiểu rõ ứng dụng của kiến thức sẽ giúp các em thấy được tính thực tế và tầm quan trọng của môn Toán.
Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải bài tập mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
