Bài 3. Góc

Bài 3. Góc - SGK Toán 12: Tổng quan và kiến thức trọng tâm

Bài 3 trong SGK Toán 12 tập 2, Chương 5, Phương pháp tọa độ trong không gian, tập trung vào việc nghiên cứu về góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Đây là một phần kiến thức quan trọng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đối tượng hình học trong không gian và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

1. Góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức dựa trên vector chỉ phương của hai đường thẳng đó. Cụ thể:

Cho hai đường thẳng d1 và d2 có vector chỉ phương lần lượt là u1 và u2.
Góc θ giữa hai đường thẳng được tính bởi công thức: cos(θ) = |u1.u2| / (||u1|| * ||u2||)
Lưu ý: Góc θ luôn nằm trong khoảng [0, π/2].

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta sử dụng công thức dựa trên vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương u và mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến n.
Góc φ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bởi công thức: sin(φ) = |u.n| / (||u|| * ||n||)
Lưu ý: Góc φ luôn nằm trong khoảng [0, π/2].

3. Các dạng bài tập thường gặp

Trong bài 3, có một số dạng bài tập thường gặp như:

Tính góc giữa hai đường thẳng khi biết vector chỉ phương.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khi biết vector chỉ phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Xác định điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, song song hoặc cắt nhau.
Xác định điều kiện để đường thẳng vuông góc hoặc song song với mặt phẳng.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t và d2: x = 2 - s, y = 1 + s, z = 4 - s. Tính góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Giải:

Vector chỉ phương của d1: u1 = (1, -1, 2)
Vector chỉ phương của d2: u2 = (-1, 1, -1)
cos(θ) = |(1)(-1) + (-1)(1) + (2)(-1)| / (√(1^2 + (-1)^2 + 2^2) * √((-1)^2 + 1^2 + (-1)^2)) = |-4| / (√6 * √3) = 4 / (3√2) = 2√2 / 3
θ = arccos(2√2 / 3) ≈ 19.47°

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2 - t và mặt phẳng (P): 2x - y + z = 5. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Giải:

Vector chỉ phương của d: u = (1, 1, -1)
Vector pháp tuyến của (P): n = (2, -1, 1)
sin(φ) = |(1)(2) + (1)(-1) + (-1)(1)| / (√(1^2 + 1^2 + (-1)^2) * √(2^2 + (-1)^2 + 1^2)) = |0| / (√3 * √6) = 0
φ = arcsin(0) = 0°

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về góc trong không gian, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác trong SGK và các tài liệu tham khảo. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ công thức và cách áp dụng vào giải quyết các bài toán cụ thể.

6. Kết luận

Bài 3. Góc - SGK Toán 12 cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về góc giữa hai đường thẳng và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác.