Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đối với phương trình chính tắc \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\), vector chỉ phương của đường thẳng cũng là \(\vec u = (a,b,c)\).
- Góc giữa hai đường thẳng có vector chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = ({a_1},{b_1},{c_1})\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ({a_2},{b_2},{c_2})\) được tính bởi:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} }}{{|\overrightarrow {{u_1}} ||\overrightarrow {{u_2}} |}}\)
Lời giải chi tiết
Vector chỉ phương của đường thẳng d là \(\vec u = (2,1,1)\).
Góc giữa đường thẳng và trục Ox:
Tích vô hướng giữa \(\vec u = (2,1,1)\) và \(\vec i = (1,0,0)\):
\(\vec u \cdot \vec i = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 1 \times 0 = 2\)
Độ dài \(|\vec u| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 ,\quad |\vec i| = 1\).
\(\cos \theta = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Suy ra \({\theta _{Ox}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \approx 35^\circ \).
Góc giữa đường thẳng và trục Oy:
Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec j = (0,1,0)\):
\(\vec u \cdot \vec j = 2 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1\)
\(\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Suy ra \({\theta _{Oy}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).
Góc giữa đường thẳng và trục Oz:
Tích vô hướng giữa \(\vec u\) và \(\vec k = (0,0,1)\):
\(\vec u \cdot \vec k = 2 \times 0 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = 1\)
\(\cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Suy ra \({\theta _{Oz}} = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right) \approx 65^\circ \).
Bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta giải phương trình chứa số phức. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Đề bài: Giải các phương trình sau:
a) z2 + 2z + 5 = 0
Đây là một phương trình bậc hai với hệ số thực. Ta tính delta:
Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16
Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức:
z1,2 = (-b ± √Δ) / 2a = (-2 ± √(-16)) / 2 = (-2 ± 4i) / 2 = -1 ± 2i
Vậy, nghiệm của phương trình là z1 = -1 + 2i và z2 = -1 - 2i.
b) z2 - 4z + 13 = 0
Tương tự, ta tính delta:
Δ = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 * 1 * 13 = 16 - 52 = -36
Vì Δ < 0, phương trình có hai nghiệm phức:
z1,2 = (-b ± √Δ) / 2a = (4 ± √(-36)) / 2 = (4 ± 6i) / 2 = 2 ± 3i
Vậy, nghiệm của phương trình là z1 = 2 + 3i và z2 = 2 - 3i.
Khi giải phương trình bậc hai với hệ số thực và delta âm, chúng ta luôn có hai nghiệm phức liên hợp. Điều này có nghĩa là nếu z1 = a + bi là một nghiệm, thì z2 = a - bi cũng là một nghiệm của phương trình.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Bài tập 5.24 trang 70 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ hơn về số phức và các phép toán liên quan. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn giải trên, các em sẽ tự tin hơn khi làm bài tập Toán 12.
Hãy truy cập giaibaitoan.com để xem thêm nhiều bài giải Toán 12 khác và nâng cao kiến thức của mình!
