Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Giaibaitoan.com cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M
Đề bài
Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M trên thành cầu, biết M cách mặt nước 75 m và MN song song với cột trụ.
a) Tính độ dài MN, biết điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 230 m.
b) Người ta có thể dời đoạn dây dài 100 m để nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định tọa độ các điểm A, D, M, và N dựa trên thông tin đề bài.
- Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng AD để tính tọa độ điểm N với điều kiện đoạn MN song song với trục Oz.
- Tính độ dài đoạn MN bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. - Giải phương trình tham số cho đường thẳng AD với điều kiện mới (điểm M cách trục Oz một khoảng 148 m) để kiểm tra xem có thỏa mãn yêu cầu không.
Lời giải chi tiết
a)
- Điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, có tọa độ: \(A(0; - 343;75)\).
- Điểm D trên trục Oz, có tọa độ: \(D(0;0;227)\).
- Điểm M trên thành cầu, có tọa độ: \(M(0; - 230;75)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là:
\(\overrightarrow {AD} = D - A = (0 - 0;0 + 343;227 - 75) = (0;343;152)\)
Phương trình tham số của đường thẳng AD:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = - 343 + 343t}\\{z = 75 + 152t}\end{array}} \right.\)
Trong đó, t là tham số.
Vì đoạn MN song song với trục Oz, nên tọa độ N sẽ có dạng \(N(0; - 230;{z_N})\). Để tìm \({z_N}\), ta thay \({y_N} = - 230\) vào phương trình tham số của AD:
\( - 230 = - 343 + 343t \Rightarrow t = \frac{{113}}{{343}}\)
Thay t vào phương trình tham số của z:
\({z_N} = 75 + 152 \times \frac{{113}}{{343}} \approx 125,1{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)
Vậy tọa độ của N là \(N(0; - 230;125,1)\).
Độ dài đoạn MN là:
\(MN = |{z_N} - {z_M}| = |125,1 - 75| = 50,1{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)
b)
Người ta muốn di chuyển dây cáp sao cho điểm M' cách trục Oz 148 m.
Xét điểm N' thuộc đường thẳng AD sao cho tọa độ \({y_{N'}} = - 148\).
Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng AD, ta giải phương trình:
\( - 148 = - 343 + 343t \Rightarrow t = \frac{{195}}{{343}}\)
Thay giá trị của t vào phương trình của z, ta được:
\({z_{N'}} = 75 + 152 \times \frac{{195}}{{343}} \approx 161.4{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)
Sau khi di chuyển đoạn dây MN có độ dài:
\(MN = |161.4 - 75| = 86.4{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)
Vì độ dài đoạn dây nhỏ hơn 100 m, nên ta có thể nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148m.
Bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Hãy tìm:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2 là hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xác định loại cực trị
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
Bước 5: Tính giá trị cực đại và cực tiểu
f(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2
f(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2
Vậy hàm số đạt cực đại là 2 tại x = 0 và đạt cực tiểu là -2 tại x = 2.
Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm x = -1, x = 0, x = 2, x = 3:
So sánh các giá trị, ta thấy:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2 (đạt được tại x = -1 và x = 2).
Bài tập 5.23 đã được giải quyết hoàn toàn. Hy vọng rằng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị và khảo sát hàm số.
Để củng cố kiến thức, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 12 tập 2 và các tài liệu ôn thi THPT Quốc gia.
Lưu ý: Đây chỉ là một ví dụ về lời giải chi tiết. Các em có thể tìm hiểu thêm các phương pháp giải khác để nâng cao kỹ năng giải toán.
