Bài 1. Xác suất có điều kiện

Bài 1. Xác suất có điều kiện - SGK Toán 12: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1. Xác suất có điều kiện là một trong những khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong chương 6 về xác suất. Bài học này giới thiệu về khái niệm xác suất có điều kiện, công thức tính xác suất có điều kiện và các ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế.

1. Khái niệm xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra, ký hiệu là P(B|A), là xác suất của biến cố B khi không gian mẫu đã bị thu hẹp lại chỉ còn các kết quả có thể xảy ra của biến cố A. Công thức tính xác suất có điều kiện là:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) (với P(A) > 0)

Trong đó:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “lấy được quả bóng đỏ thứ nhất” và B là biến cố “lấy được quả bóng đỏ thứ hai”. Ta cần tính P(B|A).

P(A) = 5/8 (xác suất lấy được quả bóng đỏ thứ nhất)

P(A ∩ B) = (5/8) * (4/7) (xác suất lấy được cả hai quả bóng đều màu đỏ)

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (5/8 * 4/7) / (5/8) = 4/7

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện là 7, biết rằng lần gieo đầu tiên ra số lẻ.

Giải:

Gọi A là biến cố “lần gieo đầu tiên ra số lẻ” và B là biến cố “tổng số chấm xuất hiện là 7”. Ta cần tính P(B|A).

Không gian mẫu của A là {1, 3, 5}. P(A) = 1/2

Các kết quả thuận lợi cho A ∩ B là {(1, 6), (3, 4), (5, 2)}. P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = (1/12) / (1/2) = 1/6

3. Bài tập áp dụng

1. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để cả 3 học sinh đều giỏi môn Toán.
2. Trong một hộp có 8 quả bóng, trong đó có 5 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu trắng.
3. Một người bắn súng vào một bia. Xác suất bắn trúng bia của người đó là 0.8. Tính xác suất để người đó bắn trúng bia 3 lần liên tiếp.

4. Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về xác suất có điều kiện, cần chú ý đến việc xác định đúng biến cố A và B, cũng như tính toán chính xác các xác suất P(A), P(B) và P(A ∩ B). Việc hiểu rõ công thức và áp dụng linh hoạt vào các bài toán cụ thể là yếu tố then chốt để đạt được kết quả đúng.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về khái niệm xác suất có điều kiện và cách áp dụng nó vào giải các bài tập. Chúc các em học tập tốt!