Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Đề bài
Tứ diện ABCD có các đỉnh \((A(5;1;3),B(1;6;2),C(5;0;4),D(4;0;6)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng \((ACD)\) và \((BCD)\).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình mặt phẳng có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\)
Trong đó:
- \(\vec n = (A,B,C)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Nếu biết một điểm \({M_0}({x_0},{y_0},{z_0})\) thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A,B,C)\), phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:
\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)
- Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1}),B({x_2},{y_2},{z_2}),C({x_3},{y_3},{z_3})\), phương trình mặt phẳng có thể viết bằng cách tìm vectơ pháp tuyến từ hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Lời giải chi tiết
a)
Mặt phẳng \((ACD)\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {AC} = (0; - 1;1)\) và \(\overrightarrow {AD} = ( - 1; - 1;3).\)
- Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {AC} \times \overrightarrow {AD} = \left( {( - 1).3 - 1.( - 1);\,\,\,1.( - 1) - 0.3;\,\,\,0.( - 1) - ( - 1).( - 1)} \right) = ( - 2; - 1; - 1)\)
Phương trình mặt phẳng \((ACD)\) là:
\( - 2(x - 5) - 1(y - 1) - 1(z - 3) = 0\)
Rút gọn:
\( - 2x + - y - z + 14 = 0\)
\(2x + y + z - 14 = 0\)
Mặt phẳng \((BCD)\)
- Tính các vectơ \(\overrightarrow {BC} = (4; - 6;2)\) và \(\overrightarrow {BD} = (3; - 6;4)\).
- Tích có hướng:
\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = \left( {( - 6).4 - 2.( - 6);\,\,2.3 - 4.4;\,\,4.( - 6) - ( - 6).3} \right) = ( - 12; - 10; - 6)\)
Phương trình mặt phẳng \((BCD)\) là:
\( - 12(x - 1) - 10(y - 6) - 6(z - 2) = 0\)
Rút gọn:
\( - 12x - 10y - 6z + 84 = 0\)
Chia cả phương trình cho 2:
\(6x + 5y + 3z - 42 = 0\)
b)
- Tính vectơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 4;5; - 1)\) và \(\overrightarrow {CD} = ( - 1;0;2).\)
- Vì mặt phẳng chứa cạnh AB và song song với cạnh CD, nên tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {CD} = \left( {5.2 - ( - 1).0;\,\,\,( - 1).( - 1) - ( - 4).2;\,\,( - 4).0 - 5.( - 1)} \right) = (10;6;5)\)
Phương trình mặt phẳng là:
\(10(x - 5) + 9(y - 1) + 5(z - 3) = 0\)
Rút gọn:
\(10x + 9y + 5z - 74 = 0\)
Bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. Cụ thể, bài tập thường yêu cầu xác định khoảng đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một bài tập cụ thể thuộc dạng bài tập 5.5 trang 51. Giả sử bài tập yêu cầu xác định khoảng đơn điệu của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Ngoài việc xác định khoảng đơn điệu, bài tập 5.5 trang 51 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải quyết các bài tập về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số một cách hiệu quả, học sinh nên:
Bài tập 5.5 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập thường xuyên và áp dụng các mẹo giải bài tập hiệu quả, các em có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
