Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = {x^3} + 3{x^2} - 4) b) (y = {x^3} + 4{x^2} + 4x) c) (y = - 2{x^3} + 2) d) (y = - {x^3} - {x^2} - x + 1)
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)
c) \(y = - 2{x^3} + 2\)
d) \(y = - {x^3} - {x^2} - x + 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị hàm số
Lời giải chi tiết
a)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \)
Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 6x\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \leftrightarrow x = - 2{\rm{ hoac }}x = 0\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = - 4\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2,{y_{CD}} = 0\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,-4).
Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).
b)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = - \infty \)
Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 8x + 4\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 4 = 0 \leftrightarrow x = - 2{\rm{ }}\)hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{3}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty , - 2)\) và \(\left( {\frac{{ - 2}}{3},\infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 2}}{3},{y_{CT}} = - \frac{{32}}{{27}}\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2,{y_{CD}} = 0\)
- Vẽ đồ thị:
Đi qua gốc tọa độ O(0,0).
Giao điểm với trục Ox là (-2,0).
c)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = \infty \)
Ta có: \({y^\prime } = - 6{x^2} \le 0\forall x \in R\)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 6x = 0 \leftrightarrow x = 0{\rm{ }}\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,2).
Giao điểm với trục Ox là (1,0).
d) \(\)
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \infty \)
Ta có: \({y^\prime } = - 3{x^2} - 2x - 1 < 0\forall x \in R\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.
Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Vẽ đồ thị
Giao với trục Oy tại điểm (0,1)
Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)
Bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm đạo hàm, xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số, và cuối cùng là vẽ đồ thị hàm số.
Để bắt đầu, chúng ta cần xem xét lại đề bài chính xác của bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1. (Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây, ví dụ: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ tuân theo các bước sau:
Giả sử đề bài là: Khảo sát hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Điểm tới hạn: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp nhất:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Bước 5: Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2.
Bước 6: Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
Bước 7: Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
Bước 8: Giới hạn vô cực: lim (x->∞) y = ∞ và lim (x->-∞) y = -∞
Bước 9: Vẽ đồ thị: (Mô tả cách vẽ đồ thị dựa trên các thông tin đã tính toán)
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập khảo sát hàm số, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Giaibaitoan.com sẽ tiếp tục cung cấp các bài giải chi tiết và hướng dẫn giải các bài tập Toán 12 tập 1 trong thời gian tới.
