Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 của giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học về giới hạn của hàm số, một trong những kiến thức nền tảng quan trọng của môn Toán 12.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả. Hãy cùng khám phá lời giải ngay sau đây!
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B. a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau. b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Đề bài
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A'B'C'. O là giao điểm của hai đường thẳng AB' và A'B.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng GO và CG' song song với nhau.
b) Tính độ dài của \(\overrightarrow {GO} \)trong trường hợp ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, cạnh bên AA' = 3 và đáy là tam giác đều có cạnh bằng 2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm k (k≠0) sao cho \(\overrightarrow {GO} = k\overrightarrow {CG'} \) thì hai đường thẳng GO // CG’ bằng quy tắc trọng tâm tam giác và quy tắc trung điểm của vectơ.
- Tính độ dài của \(\overrightarrow {CG'} \) rồi suy ra độ dài của \(\overrightarrow {GO} \).
Lời giải chi tiết
Hình bình hành AA’B’B có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AB’. Do đó: \(2\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \).
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ có G, G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy nên: \(\overrightarrow {G'B'} = \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {CC'} ,\overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow {GC} \).
Suy ra: \(2\overrightarrow {GO} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CG'} + \overrightarrow {G'C'} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {CG'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} \).
Áp dụng quy tắc trọng tâm của vectơ vào tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra: \(2\overrightarrow {GO} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {CG'} = \overrightarrow {CG'} \).
Vì tồn tại \(k = \frac{1}{2} \ne 0\) nên GO và CG’ song song với nhau.
b)
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ là lăng trụ đứng nên tam giác CC’G’ vuông tại C’, ta có: \(CG' = \sqrt {CC{'^2} + C'G{'^2}} \).
Mà G’ là trọng tâm của tam giác đều A’B’C’ nên: \(C'G' = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.2 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
Suy ra: \(CG' = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {93} }}{3}\).
Từ câu a ta thấy \(\overrightarrow {GO} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CG'} \) nên \(\left| {\overrightarrow {GO} } \right| = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CG'} } \right| = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {93} }}{3} = \frac{{\sqrt {93} }}{6}\).
Bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới một giá trị nhất định. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, bao gồm giới hạn một bên, giới hạn tại vô cùng, và các quy tắc tính giới hạn.
Có nhiều phương pháp để giải bài tập giới hạn hàm số, tùy thuộc vào dạng bài tập cụ thể. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập 2.5 có nội dung như sau:
Tính giới hạn: lim (x→2) (x2 - 4) / (x - 2)
Vậy, giới hạn của hàm số là 4.
Ngoài bài tập tính giới hạn trực tiếp, học sinh còn có thể gặp các dạng bài tập giới hạn hàm số khác, như:
Để học tốt môn Toán 12, đặc biệt là phần giới hạn hàm số, học sinh cần:
Giới hạn hàm số là một khái niệm quan trọng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, như:
Hy vọng bài giải bài tập 2.5 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về giới hạn hàm số và có thêm kiến thức để học tốt môn Toán 12. Chúc các em học tập tốt!
