Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học môn Toán lớp 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\) b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\) c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)
b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:
\(\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos \theta \)
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh \(a\).
a) Tính \(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} \):
- \(|\overrightarrow {BC} | = a\)
- \(|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AH} \) là \({45^^\circ }\) vì \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AH} = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}\)
b) Tính \(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} \):
- \(|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2 \)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \) là \({60^\circ }\) vì \(\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} \) mà tam giác ACF đều.
Do đó:
\(\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\)
c) Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} \):
- \(|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2 \)
- \(|\overrightarrow {FE} | = a\)
- Góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {FE} \) là \({135^\circ }\) vì góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {FE} \) là \(\overrightarrow {EF} \) là \(45^\circ \) mà \(\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ \)
Do đó:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos {135^\circ }\)
Vì \(\cos {135^\circ } = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có:
\(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {FE} = a\sqrt 2 \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - {a^2}\)
Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 thường xoay quanh việc tìm đạo hàm của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số, và xác định cực trị. Để giải quyết những bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, bao gồm:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải một ví dụ cụ thể từ bài tập 2.7. Giả sử bài toán yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2x - 1.
Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của tổng và lũy thừa, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x + 2
Để xét dấu f'(x), ta giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x + 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm được hai nghiệm x1 và x2.
Sau đó, ta xét dấu f'(x) trên các khoảng ( -∞, x1), (x1, x2), và (x2, +∞) để xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
Dựa vào bảng xét dấu f'(x), ta xác định được các điểm cực trị của hàm số. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x = a, thì hàm số đạt cực đại tại x = a. Ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x = a, thì hàm số đạt cực tiểu tại x = a.
Ngoài việc tính đạo hàm, bài tập 2.7 thường gặp các dạng bài sau:
Để giải bài tập 2.7 một cách hiệu quả, các em nên:
Bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững lý thuyết, luyện tập thường xuyên, và sử dụng các công cụ hỗ trợ, các em có thể giải quyết những bài toán này một cách tự tin và hiệu quả. Chúc các em học tốt!
