Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2 trong chương 5 của sách Giải Toán 12 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh nắm vững kiến thức về hình học giải tích và ứng dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.

I. Khái niệm cơ bản về đường thẳng trong không gian

Đường thẳng trong không gian là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một phương trình nhất định. Để xác định một đường thẳng trong không gian, chúng ta cần biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

II. Các dạng phương trình của đường thẳng trong không gian

Có ba dạng phương trình chính để biểu diễn đường thẳng trong không gian:

Phương trình tham số:x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct, trong đó (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng và (a, b, c) là tọa độ của vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc:(x - x₀)/a = (y - y₀)/b = (z - z₀)/c, với điều kiện a, b, c khác 0.
Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và một điểm cho trước: Dạng này ít được sử dụng trực tiếp để biểu diễn đường thẳng, nhưng hữu ích trong việc xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

III. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là một vectơ song song với đường thẳng đó. Để tìm vectơ chỉ phương, ta có thể sử dụng:

Hai điểm thuộc đường thẳng: u = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)
Tích của hai vectơ không cùng phương nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương u = (2, -1, 1).

Giải:

Phương trình tham số: x = 1 + 2t, y = 2 - t, z = 3 + t
Phương trình chính tắc: (x - 1)/2 = (y - 2)/(-1) = (z - 3)/1

Ví dụ 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm B(0, 1, -2) và C(2, 3, 0).

Giải:

u = (2 - 0, 3 - 1, 0 - (-2)) = (2, 2, 2)

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(-1, 0, 4) và có vectơ chỉ phương v = (1, -2, 3).
Bài 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm N(3, -2, 1) và P(1, 0, -3).
Bài 3: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng (x - 1)/2 = (y + 1)/(-1) = (z - 2)/1 và mặt phẳng x + y + z - 4 = 0.

VI. Kết luận

Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hình học giải tích trong không gian.