Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
Đề bài
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là \(A(3;2,5;15)\) và \(B(21;27,5;10)\).
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình đường thẳng trong không gian:
Đường thẳng đi qua hai điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\) có vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1})\)
Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} + t({x_2} - {x_1})}\\{y = {y_1} + t({y_2} - {y_1})}\\{z = {z_1} + t({z_2} - {z_1})}\end{array}} \right.\)
trong đó \(t\) là tham số.
Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao \(z\):
Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị \(z = 12\), từ đó tính \(t\). Sử dụng giá trị \(t\) để tìm tọa độ \(x\) và \(y\).
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
Tọa độ điểm A là \(A(3;2,5;15)\) và tọa độ điểm B là \(B(21;27,5;10)\).
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
\(\overrightarrow {AB} = (21 - 3,27,5 - 2,5,10 - 15) = (18,25, - 5)\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 18t}\\{y = 2,5 + 25t}\\{z = 15 - 5t}\end{array}} \right.\)
Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết \(z = 12\), thay vào phương trình tham số của z:
\(12 = 15 - 5t\)
Giải phương trình:
\(5t = 15 - 12 = 3\quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{5}\)
Thay \(t = \frac{3}{5}\) vào các phương trình tham số của x và y:
\(x = 3 + 18 \times \frac{3}{5} = 3 + 10,8 = 13,8\)
\(y = 2,5 + 25 \times \frac{3}{5} = 2,5 + 15 = 17,5\)
Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là \((13,8;17,5;12)\).
Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Trước khi bắt tay vào giải bài tập, chúng ta cần đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu và các dữ kiện đã cho. Sau đó, chúng ta lập kế hoạch giải bài toán, bao gồm các bước thực hiện và các công thức cần sử dụng.
(Giả sử đề bài là: Tìm số phức z biết |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1)
Giải:
Để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, chúng ta cùng xem xét một ví dụ minh họa:
Ví dụ: Tìm số phức z biết |z + 1| = 2 và phần ảo của z bằng 1.
Giải:
Tương tự như bài tập 5.21, chúng ta đặt z = x + yi, với x, y là các số thực. Thay z = x + yi vào điều kiện |z + 1| = 2, ta được: |(x + 1) + yi| = 2. Sử dụng công thức tính module của số phức, ta có: √( (x + 1)² + y² ) = 2. Bình phương hai vế, ta được: (x + 1)² + y² = 4. Theo đề bài, phần ảo của z bằng 1, tức là y = 1. Thay y = 1 vào phương trình (x + 1)² + y² = 4, ta được: (x + 1)² + 1 = 4. Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của x. Kết luận: z = x + i (với giá trị x đã tìm được).
Bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc các em học tập tốt!
