Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1

Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1

Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).

a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), sau đó tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \). Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\) Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).

Lời giải chi tiết

a) Tính các vectơ:

\(\overrightarrow {AB} = (1; - 4; - 2), \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4; - 6)\)

Tích vô hướng:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1( - 2) + ( - 4)( - 4) + ( - 2)( - 6) = - 2 + 16 + 12 = 26\)_.

Độ dài của các vectơ:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {21}, \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {56} \)

So sánh:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \approx \sqrt {21} \times \sqrt {56} = \sqrt {1176} \ne 26\)

Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

b) Tọa độ trọng tâm \(G\):

\(G\left( {\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{2 - 2 - 2}}{3};\frac{{3 + 1 - 3}}{3}} \right) = G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\)

c) Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), tức là \(\vec C - \vec D = \vec B - \vec A\), nên tọa độ D sẽ là:

\(D = (A - B) + C = (1 - 2;2 - ( - 2);3 - ( - 3)) + ( - 1; - 2; - 3) = ( - 2;2;3)\)

Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :

\(I = \frac{{A + C}}{2} = \frac{{(1;2;3) + ( - 1; - 2; - 3)}}{2} = (0;0;0)\)

Chu vi hình bình hành ABCD :

\(AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}} = \sqrt {1 + 16 + 4} = \sqrt {21} \)

\(BC = \sqrt {{{( - 1 - 2)}^2} + {{( - 2 - ( - 2))}^2} + {{( - 3 - 1)}^2}} = \sqrt {9 + 0 + 16} = \sqrt {25} = 5\)

\(P = 2 \times (\sqrt {21} + 5)\)

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá trong chuyên mục bài toán lớp 12 trên nền tảng toán học! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1: Phân tích chi tiết và phương pháp giải

Bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm bậc nhất: Đạo hàm bậc nhất của hàm số sẽ giúp chúng ta tìm ra các điểm nghi ngờ là cực trị.
Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ. Sau đó, kiểm tra dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định xem đó có phải là điểm cực trị hay không.
Khảo sát tính đơn điệu của hàm số: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất, chúng ta có thể xác định khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
Tìm cực đại, cực tiểu: Xác định giá trị của hàm số tại các điểm cực trị để tìm ra cực đại và cực tiểu.

Lời giải chi tiết bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1

Để minh họa, chúng ta sẽ cùng giải bài tập 2.24 với hàm số cụ thể. (Giả sử hàm số là y = x^3 - 3x^2 + 2)

Tập xác định: Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là R.
Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x^2 - 6x
Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2.
Khảo sát tính đơn điệu:
- Với x < 0, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
- Với 0 < x < 2, y' < 0 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
- Với x > 2, y' > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).
Kết luận:
- Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.

Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải

Ngoài bài tập 2.24, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu khảo sát hàm số và tìm cực trị. Để giải quyết các bài tập này, các em cần:

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán để kiểm tra kết quả.

Ứng dụng của việc khảo sát hàm số trong thực tế

Việc khảo sát hàm số và tìm cực trị có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như:

Kinh tế: Tìm điểm tối ưu để đạt lợi nhuận cao nhất hoặc chi phí thấp nhất.
Kỹ thuật: Thiết kế các công trình tối ưu về mặt kỹ thuật.
Khoa học: Mô tả và phân tích các hiện tượng tự nhiên.

Tổng kết

Bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu rõ về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày ở trên, các em sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.