Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trong quá trình học tập, cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu và các phương pháp giải bài tập hiệu quả.
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp. b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3.
a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp.
b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng thông tin về các cạnh của hình hộp để xác định tọa độ của các đỉnh.
b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng DD’ và B’E. Sử dụng điều kiện \(B'E \bot A'C'\) để thiết lập phương trình và giải tìm tọa độ của E.
Lời giải chi tiết
a) Tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật là:
- A trùng với gốc tọa độ, tức A(0; 0; 0) .
- B thuộc tia Ox , nên B(1; 0; 0) (vì AB = 1 ).
- D thuộc tia Oy , nên D(0; 2; 0) (vì AD = 2 ).
- A’ thuộc tia Oz , nên A’(0; 0; 3) (vì AA’ = 3 ).
Các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật:
- C đối với A qua BD , tọa độ là C(1; 2; 0) .
- B’ đối với A qua A’C , tọa độ là B’(1; 0; 3) .
- D’ đối với A qua A’D , tọa độ là D’(0; 2; 3) .
- C’ đối với A qua B’D , tọa độ là C’(1; 2; 3) .
b) Tọa độ của điểm E trên đường thẳng DD’ :
- Đường thẳng DD’ có phương trình dạng:
\(x = 0,\quad y = 2,\quad z = t{\rm{.}}\) với t là tham số.
Tọa độ của E là E(0; 2; t) . Để \(B'E \bot A'C\), cần:
\(\overrightarrow {B'E} \cdot \overrightarrow {A'C} = 0\)
Tính các vectơ:
\(\overrightarrow {B'E} = (0 - 1;2 - 0;t - 3) = ( - 1;2;t - 3)\)
\(\overrightarrow {A'C} = (1 - 0;2 - 0;0 - 3) = (1;2; - 3)\)
Điều kiện vuông góc:
\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {A'C} = ( - 1) \times 1 + 2 \times 2 + (t - 3) \times ( - 3) = - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\)
Giải phương trình này:
\( - 1 + 4 - 3t + 9 = 0\quad \Rightarrow \quad 12 = 3t\quad \Rightarrow \quad t = 4\)
Vậy tọa độ của E là E(0; 2; 4) .
Bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm, điều kiện cực trị và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Đề bài: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị.
Phân tích: Đây là một hàm số bậc ba, việc khảo sát hàm số đòi hỏi chúng ta phải tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai, tìm các điểm làm đạo hàm bậc nhất bằng 0, sau đó xét dấu đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
f''(x) = 6x - 6
Dựa vào đạo hàm bậc nhất, ta có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:
Điểm uốn: Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0:
6x - 6 = 0
x = 1
Tại x = 1, f''(x) đổi dấu, do đó x = 1 là điểm uốn. Giá trị của hàm số tại điểm uốn là f(1) = 13 - 3(12) + 2 = 0.
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
