Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.51 trang 87 SGK Toán 12 tập 2. Bài tập này thuộc chương trình học về tích phân và thường gây khó khăn cho nhiều học sinh.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, cùng với các phương pháp giải khác nhau để giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai điểm \(A(1; - 2; - 3)\), \(B( - 1;4;1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với \(d\)? \({\rm{A}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\) \({\rm{B}}{\rm{. }}d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\) \({\rm{C}}{\rm{. }}d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Đề bài
Cho hai điểm \(A(1; - 2; - 3)\), \(B( - 1;4;1)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với \(d\)?
A. \(d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
B. \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{2}\)
C. \(d':\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
D. \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Tính trung điểm của đoạn AB: Giả sử \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), trung điểm \(I\) của đoạn thẳng AB có tọa độ:
\(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2},\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right)\)
* Xác định phương trình tham số của đường thẳng song song với \(d\):
Đường thẳng song song với \(d\) sẽ có cùng vectơ chỉ phương với \(d\). Với đường thẳng \(d\), vectơ chỉ phương là \((1, - 1,2)\).
* Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(I\) và song song với \(d\): Phương trình sẽ có dạng:
\(\frac{{x - {x_0}}}{1} = \frac{{y - {y_0}}}{{ - 1}} = \frac{{z - {z_0}}}{2}\)
với \(({x_0},{y_0},{z_0})\) là tọa độ của điểm \(I\).
Lời giải chi tiết
* Tính tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn AB:
\(I\left( {\frac{{1 + ( - 1)}}{2},\frac{{ - 2 + 4}}{2},\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = (0,1, - 1)\)
* Đường thẳng cần tìm sẽ đi qua điểm \(I(0,1, - 1)\) và có vectơ chỉ phương \((1, - 1,2)\), giống với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
* Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và song song với \(d\) là:
\(\frac{{x - 0}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}\)
Chọn C
Bài tập 5.51 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu tính tích phân xác định của một hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tính tích phân cơ bản.
Tính các tích phân sau:
Để giải các tích phân này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và phương pháp đổi biến số. Cụ thể:
Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x = (1 - cos2x)/2
∫0π/2 sin2x dx = ∫0π/2 (1 - cos2x)/2 dx = (1/2) ∫0π/2 (1 - cos2x) dx
= (1/2) [x - (1/2)sin2x]0π/2 = (1/2) [(π/2 - (1/2)sinπ) - (0 - (1/2)sin0)] = (1/2) * (π/2) = π/4
Sử dụng công thức hạ bậc: cos2x = (1 + cos2x)/2
∫0π/4 cos2x dx = ∫0π/4 (1 + cos2x)/2 dx = (1/2) ∫0π/4 (1 + cos2x) dx
= (1/2) [x + (1/2)sin2x]0π/4 = (1/2) [(π/4 + (1/2)sin(π/2)) - (0 + (1/2)sin0)] = (1/2) * (π/4 + 1/2) = π/8 + 1/4
Sử dụng công thức tích phân: ∫ sinnx dx = - (1/n) sinn-1x cosx + (n-1)/n ∫ sinn-2x dx
∫0π/3 sin3x dx = ∫0π/3 sin2x sinx dx = ∫0π/3 (1 - cos2x) sinx dx
Đặt u = cosx, du = -sinx dx
= ∫11/2 (1 - u2) (-du) = ∫1/21 (1 - u2) du = [u - u3/3]1/21 = (1 - 1/3) - (1/2 - 1/24) = 2/3 - 11/24 = 5/24
Sử dụng công thức tích phân: ∫ cosnx dx = (1/n) cosn-1x sinx + (n-1)/n ∫ cosn-2x dx
∫0π/2 cos3x dx = ∫0π/2 cos2x cosx dx = ∫0π/2 (1 - sin2x) cosx dx
Đặt v = sinx, dv = cosx dx
= ∫01 (1 - v2) dv = [v - v3/3]01 = (1 - 1/3) - (0 - 0) = 2/3
Vậy, kết quả của các tích phân là:
Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài tập tích phân trong chương trình Toán 12.
