Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 3.10 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự. Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Chiều cao của 500 học sinh một trường trung học cơ sở được thống kê trong Bảng 3.25.
Đề bài
Chiều cao của 500 học sinh một trường trung học cơ sở được thống kê trong Bảng 3.25.
a) Tính khoảng tứ phân vị, trung bình và độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh.
b) Kết quả tìm được cho biết điều gì về chiều cao của 500 học sinh này?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- Công thức tìm tứ phân vị: \({Q_x} = L + \left( {\frac{{{n_x} - F}}{f}} \right) \times h\)
- Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa \({Q_3}\) và \({Q_1}\), ký hiệu là:\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)
- Công thức tính trung bình là:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N}\)
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{\sum {{f_i}x_i^2} }}{N} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} \)
b)
Trung bình: Cho biết giá trị trung bình chiều cao của 500 học sinh. Nếu trung bình cao, có thể suy ra rằng chiều cao của nhóm này nói chung là cao.
Độ lệch chuẩn: Cho biết mức độ phân tán của các chiều cao xung quanh giá trị trung bình. Nếu độ lệch chuẩn lớn, điều đó có nghĩa là chiều cao của các học sinh rất khác nhau. Ngược lại, độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy chiều cao của học sinh khá đồng đều.
Khoảng tứ phân vị: Giúp xác định sự phân tán của phần lớn dữ liệu (tức là 50% giữa). Nếu khoảng tứ phân vị nhỏ, điều đó cho thấy rằng phần lớn học sinh có chiều cao gần nhau. Nếu khoảng tứ phân vị lớn, điều đó chỉ ra rằng có sự khác biệt lớn về chiều cao giữa các học sinh.
Lời giải chi tiết
a)
Tứ phân vị:
- \(\frac{N}{4} = 125\) rơi vào nhóm [158; 162)
\({Q_1} = 158 + \frac{{125 - 75}}{{200}}.4 = 159\)
- \(\frac{{3N}}{4} = 375\) rơi vào nhóm [162; 166)
\({Q_3} = 162 + \frac{{375 - 275}}{{175}}.4 = 164,29\)
Khoảng tứ phân vị:
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 164,29 - 159 \approx 5,29\)
Chiều cao trung bình:
\(\overline x = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50}}{{500}} = 161,4\)
Độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh:
- Tính \(\overline {{x^2}} \):
\(\overline {x_G^2} = \frac{{\sum {{f_i}.x_i^2} }}{N} = \frac{{{{152}^2}.25 + {{156}^2}.50 + {{160}^2}.200 + {{164}^2}.175 + {{168}^2}.50}}{{500}} = 26064,8\)
- Tính độ lệch chuẩn
\(S = \sqrt {\overline {{x^2}} - {{\left( {\overline x } \right)}^2}} = \sqrt {26064,8 - 161,{4^2}} \approx 3,85\)cm
b) Nhận xét về chiều cao của 500 học sinh:
Trung bình chiều cao là 161.4 cm, cho thấy chiều cao trung bình của nhóm học sinh này rơi vào khoảng giữa của dãy chiều cao đã cho.
Độ lệch chuẩn là 3.85 cm, điều này cho thấy có sự phân tán tương đối nhỏ về chiều cao giữa các học sinh. Phần lớn học sinh có chiều cao gần với giá trị trung bình.
Như vậy, các giá trị tứ phân vị cho thấy rằng 25% học sinh có chiều cao dưới 159 cm và 75% học sinh có chiều cao dưới 164.29 cm, với sự phân tán khoảng 5.29 cm giữa \({Q_1}\) và \({Q_3}\).
Bài tập 3.10 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, đồng thời rèn luyện kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề.
Bài tập 3.10 thường yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác sau:
Để giải bài tập 3.10 trang 104 SGK Toán 12 tập 1, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Bài toán: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Hãy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Lời giải:
Kết luận: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có điểm cực đại tại (0, 2), điểm cực tiểu tại (2, -2) và điểm uốn tại (1, 0). Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số lõm trên khoảng (-∞, 1) và lồi trên khoảng (1, +∞).
Ngoài SGK Toán 12 tập 1, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm:
Hy vọng với bài giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập 3.10 trang 104 SGK Toán 12 tập 1 này, các em sẽ hiểu rõ hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Chúc các em học tập tốt!
