Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và (widehat {BAA'} = widehat {BAD} = widehat {DAA'} = {60^circ }). Tính độ dài đường chéo AC’.
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và
\(\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^\circ }\). Tính độ dài đường chéo AC’.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng quy tắc hình hộp và công thức tính tích vô hướng của vectơ, từ đó ta có công thức tính độ dài của \(\overrightarrow {AC'} \) là:
\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {|\overrightarrow {AB} {|^2} + |\overrightarrow {AD} {|^2} + |\overrightarrow {AA'} {|^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} } \)
Lời giải chi tiết
Vì tất cả các cạnh đều bằng a và các góc giữa các cặp vectơ đều là \({\rm{\backslash }}({60^\circ }{\rm{ \backslash }})\), ta có:
\(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AA'} | = a\)
Tích vô hướng giữa các cặp vectơ:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)
Vì ABCD.A’B’C’D’ nên:
\(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)
Suy ra:
\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {|\overrightarrow {AB} {|^2} + |\overrightarrow {AD} {|^2} + |\overrightarrow {AA'} {|^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + 2\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AA'} } \)
Tính độ dài đường chéo AC':
\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2} + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)} \)
\(|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}} = \sqrt {6{a^2}} = a\sqrt 6 \)
Vậy độ dài đường chéo \(AC'\) là \(a\sqrt 6 \).
Bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số bậc ba. Cụ thể, bài toán thường yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2.
y' = 3x2 - 6x
3x2 - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2
Ta lập bảng xét dấu y':
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| Hàm số | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Tại x = 0, y = 03 - 3(0)2 + 2 = 2. Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 2).
Tại x = 2, y = 23 - 3(2)2 + 2 = -2. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm (2; -2).
Dựa vào các thông tin đã tìm được, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Đồ thị hàm số sẽ đi qua các điểm quan trọng như (0; 2), (2; -2) và có tính chất đồng biến, nghịch biến như đã xác định.
Ngoài bài tập 2.8, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu khảo sát hàm số bậc ba. Để giải quyết các bài tập này, học sinh cần luyện tập thường xuyên và nắm vững các bước giải đã trình bày ở trên. Một số dạng bài tập thường gặp bao gồm:
Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, học sinh cần lưu ý một số điểm sau:
Bài tập 2.8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số bậc ba. Bằng cách nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
