Bài 4. Phương trình mặt cầu

Bài 4. Phương trình mặt cầu - SGK Toán 12: Tổng quan

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 2 tập trung vào việc nghiên cứu phương trình mặt cầu trong không gian. Đây là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công cụ toán học để mô tả và phân tích các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

1. Khái niệm cơ bản về mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian có cùng khoảng cách đến một điểm cố định gọi là tâm của mặt cầu. Khoảng cách này được gọi là bán kính của mặt cầu.

• Tâm mặt cầu: Điểm cố định I(x₀, y₀, z₀).
• Bán kính mặt cầu: R.

2. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu với tâm I(x₀, y₀, z₀) và bán kính R được biểu diễn như sau:

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²

3. Các dạng phương trình mặt cầu

• Phương trình chính tắc: Khi tâm mặt cầu trùng với gốc tọa độ O(0, 0, 0), phương trình trở thành: x² + y² + z² = R²
• Phương trình tổng quát: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, với a² + b² + c² - d > 0. Khi đó, tâm mặt cầu là I(a, b, c) và bán kính R = √(a² + b² + c² - d).

4. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9

Giải:

So sánh với phương trình chính tắc, ta có:

• Tâm mặt cầu: I(1, -2, 3)
• Bán kính mặt cầu: R = √9 = 3

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2, -1, 0) và đi qua điểm A(1, 0, 1)

Giải:

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm A:

R = IA = √((1 - 2)² + (0 - (-1))² + (1 - 0)²) = √(1 + 1 + 1) = √3

Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 2)² + (y + 1)² + z² = 3

5. Các bài tập thường gặp và lời khuyên

Các bài tập về phương trình mặt cầu thường yêu cầu học sinh:

• Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình.
• Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính hoặc khi biết tâm và một điểm thuộc mặt cầu.
• Kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt cầu hay không.
• Tìm giao điểm của mặt cầu với các đường thẳng, mặt phẳng.

Lời khuyên:

• Nắm vững các khái niệm cơ bản về mặt cầu và phương trình mặt cầu.
• Luyện tập thường xuyên các dạng bài tập khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hình học không gian để trực quan hóa các bài toán.

6. Kết luận

Bài 4. Phương trình mặt cầu là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12 tập 2. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng trong bài học này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các em học tập tốt!