Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
Đề bài
Một sân hình chữ nhật ABCD có chiều dài AD = 20 m, chiều rộng AB = 15 m. Người ta đặt một camera ở độ cao 5 m trên một cây cột vuông góc với mặt sân tại A, biết camera có bán kính quan sát là 25 m. Xét hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ O trùng với điểm A chân cột, các tia Ox, Oy lần lượt chứa các cạnh AB, AD của sân và tia Oz chứa cây cột.
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng quan sát được.
b) Hỏi camera có thể quan sát toàn bộ sân hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định toạ độ các đỉnh của sân hình chữ nhật và của camera
- Lập phương trình mặt cầu:
Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I({x_0},{y_0},{z_0})\) và bán kính R:
\({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\)
- Xác định tọa độ các đỉnh của sân và kiểm tra xem chúng có nằm trong phạm vi vùng quan sát của camera hay không.
- Một điểm \(M(x,y,z)\) nằm trong vùng quan sát nếu khoảng cách từ M đến I nhỏ hơn hoặc bằng R.
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả vùng quan sát
- Các điểm của sân: \(A(0;0;0)\), \(B(15;0;0)\), \(D(0;20;0)\), \(C(15;20;0)\)
- Camera đặt tại điểm \(I(0,0,5)\), độ cao \(z = 5\) m trên mặt sân tại điểm A.
- Bán kính quan sát của camera là \(R = 25\) m.
Lập phương trình mặt cầu:
- Sử dụng công thức phương trình mặt cầu với tâm \(I(0,0,5)\) và bán kính \(R = 25\):
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 5)^2} = {25^2}\)
\({x^2} + {y^2} + {(z - 5)^2} = 625\)
- Đây là phương trình mặt cầu mô tả ranh giới vùng quan sát của camera.
b) Kiểm tra khả năng quan sát toàn bộ sân
* Tính khoảng cách từ các đỉnh của sân đến camera:
- Khoảng cách từ I đến A:
\(IA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(5 - 0)}^2}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến B:
\(IB = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 25} = \sqrt {250} \approx 15.81{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến D:
\(ID = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {400 + 25} = \sqrt {425} \approx 20.62{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Khoảng cách từ I đến C:
\(IC = \sqrt {{{(15 - 0)}^2} + {{(20 - 0)}^2} + {{(0 - 5)}^2}} = \sqrt {225 + 400 + 25} = \sqrt {650} \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)
- Camera có thể quan sát được toàn bộ sân nếu tất cả các đỉnh đều nằm trong bán kính quan sát. Ta thấy rằng khoảng cách \(IC \approx 25.5{\mkern 1mu} {\rm{m}} > 25{\mkern 1mu} {\rm{m}}\). Do đó, điểm C nằm ngoài phạm vi quan sát của camera.
Bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tìm cực trị và khảo sát hàm số. Đây là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
(Giả sử bài tập 5.41 là hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2)
Bước 1: Tập xác định
Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
Bước 2: Đạo hàm bậc nhất
y' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Tìm điểm tới hạn
Giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy x = 0 hoặc x = 2
Bước 4: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | - | + | |
| y | NB | ĐB | NB |
Bước 5: Tìm cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
Bước 6: Đạo hàm bậc hai
y'' = 6x - 6
Bước 7: Khảo sát dấu của đạo hàm bậc hai
Giải phương trình y'' = 0:
6x - 6 = 0
x = 1
Điểm uốn của hàm số là x = 1.
Bước 8: Vẽ đồ thị hàm số
(Đồ thị hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có cực đại tại (0, 2), cực tiểu tại (2, -2) và điểm uốn tại (1, 0).)
Việc giải bài tập 5.41 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về đạo hàm và các bước khảo sát hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trên đây, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
