Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả.
Một người chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng, rộng 3 km và muốn đến điểm B, cách bờ đối diện 8 km về phía hạ lưu, càng nhanh càng tốt như Hình 1.39. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Tốc độ chèo thuyền là 6 km/h và tốc độ chạy bộ là 8 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đề bài
Một người chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng, rộng 3 km và muốn đến điểm B, cách bờ đối diện 8 km về phía hạ lưu, càng nhanh càng tốt như Hình 1.39. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Tốc độ chèo thuyền là 6 km/h và tốc độ chạy bộ là 8 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Đặt biến 𝑥 là khoảng cách từ điểm C đến điểm D.
- Thiết lập hàm số 𝑇(𝑥) thời gian tổng quát bao gồm thời gian chèo thuyền và thời gian chạy bộ.
- Khảo sát hàm số 𝑇(𝑥).
- Tính thời gian tại giá trị 𝑥 tìm được để đảm bảo đó là thời gian ngắn nhất.
Lời giải chi tiết
- Gọi 𝑥 là khoảng cách từ điểm C đến điểm D (BC≥𝑥≥0).
- Quãng đường từ A đến D là: \(\sqrt {{3^2} + {x^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} \)km.
- Thời gian chèo thuyền là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) giờ.
- Thời gian chạy bộ từ D đến B là:\(\frac{{8 - x}}{8}\) giờ.
→ Tổng thời gian: \[T(x) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\]
- Khảo sát hàm số 𝑇(𝑥):
Tính đạo hàm: \({T^\prime }(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{{\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)
Giải phương trình \({T^\prime }(x) = 0\) :
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} = \frac{1}{8}\\ \Rightarrow 8x = 6\sqrt {9 + {x^2}} \\ \Leftrightarrow 64{x^2} = 36\left( {9 + {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 64{x^2} = 324 + 36{x^2}\\ \Leftrightarrow 28{x^2} = 324\\ \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{324}}{{28}}} = \frac{{924}}{{\sqrt 7 }} \approx 3.4\end{array}\)
Bảng biến thiên:
Thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B là 1.33 giờ.
Bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 thường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử bài tập 1.23 yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 trên đoạn [-1; 3].
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x):
f'(x) = 3x2 - 6x
Bước 2: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị:
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 2.
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các đầu mút của đoạn [-1; 3]:
Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là 2 (đạt được tại x = 0 và x = 3).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 3] là -2 (đạt được tại x = -1 và x = 2).
Ngoài bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả, các em cần:
Để học tập và ôn luyện kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, các em có thể tham khảo các tài liệu sau:
Hy vọng với bài giải chi tiết và những lời khuyên trên, các em sẽ giải quyết thành công bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
