Bài 4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Bài 4 trong chương 2 môn Toán 12 tập 1, thuộc chương trình Giải tích, tập trung vào việc ứng dụng kiến thức về tọa độ để thực hiện các phép toán trên vecto. Việc nắm vững nội dung này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Khái niệm cơ bản về tọa độ vecto

Trong không gian Oxyz, một vecto \overrightarrow{a} được biểu diễn bằng tọa độ \overrightarrow{a} = (x; y; z), trong đó x, y, z là các số thực. Tọa độ của vecto thể hiện hình chiếu của vecto lên các trục tọa độ.

2. Phép cộng và phép trừ vecto

Cho hai vecto \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2):

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)

Phép cộng và trừ vecto thực hiện theo từng thành phần tọa độ tương ứng.

3. Phép nhân vecto với một số thực

Cho vecto \overrightarrow{a} = (x; y; z) và một số thực k:

k\overrightarrow{a} = (kx; ky; kz)

Phép nhân vecto với một số thực thực hiện bằng cách nhân từng thành phần tọa độ của vecto với số thực đó.

4. Tích vô hướng của hai vecto

Cho hai vecto \overrightarrow{a} = (x_1; y_1; z_1) và \overrightarrow{b} = (x_2; y_2; z_2):

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Tích vô hướng của hai vecto là một số thực. Nó có liên quan đến góc giữa hai vecto và độ dài của chúng.

5. Ví dụ minh họa

Cho \overrightarrow{a} = (1; 2; 3) và \overrightarrow{b} = (-2; 1; 0). Hãy tính:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}
2\overrightarrow{a}
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}

Giải:

\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1 - 2; 2 + 1; 3 + 0) = (-1; 3; 3)
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (1 + 2; 2 - 1; 3 - 0) = (3; 1; 3)
2\overrightarrow{a} = (2; 4; 6)
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

6. Bài tập áp dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:

Cho \overrightarrow{a} = (2; -1; 1) và \overrightarrow{b} = (3; 0; -2). Tính \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}, -3\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}.
Tìm tọa độ của vecto \overrightarrow{c} sao cho \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}, với \overrightarrow{a} = (1; 2; 3) và \overrightarrow{b} = (-1; 0; 2).

7. Kết luận

Việc hiểu rõ biểu thức tọa độ của các phép toán vecto là rất quan trọng trong việc giải các bài toán hình học không gian. Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích. Chúc các em học tốt!