Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12 tập 1, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử amoniac (\(N{H_3}\)) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen (\(N\)) và đáy là tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) với \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen (\(H\)). Góc tạo bởi liên kết \(H - N - H\), có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) (chẳng hạn như \({H_1}N{H_2}\)), được gọi là góc liên kết của phân tử \(N{H_3}\). Góc này xấp xỉ \({107^\circ }\). Trong khô
Đề bài
Trong Hoá học, cấu tạo của phân tử amoniac (\(N{H_3}\)) có dạng hình chóp tam giác đều mà đỉnh là nguyên tử nitrogen (\(N\)) và đáy là tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) với \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) là vị trí của ba nguyên tử hydrogen (\(H\)). Góc tạo bởi liên kết \(H - N - H\), có hai cạnh là hai đoạn thẳng nối \(N\) với hai trong ba điểm \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) (chẳng hạn như \({H_1}N{H_2}\)), được gọi là góc liên kết của phân tử \(N{H_3}\). Góc này xấp xỉ \({107^\circ }\).
Trong không gian Oxyz, cho một phân tử \(N{H_3}\) được biểu diễn bởi hình chóp tam giác đều \(N.{H_1}{H_2}{H_3}\) với \(O\) là tâm của đáy. Nguyên tử nitrogen được biểu diễn bởi điểm \(N\) thuộc trục Oz, ba nguyên tử hydrogen ở các vị trí \({H_1}\), \({H_2}\), \({H_3}\) trong đó \({H_1}(0; - 2;0)\) và \({H_2}{H_3}\) song song với trục Ox (Hình 2.44).
a) Tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen.
b) Tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen với mỗi nguyên tử hydrogen (làm tròn các kết quả tính toán đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng định lý sin trong công thức để tính khoảng cách giữa hai nguyên tử hydrogen (d) có góc bằng ∝.
\(d = 2R.\sin (\alpha )\)
b) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
\(d(N,{H_1}) = \sqrt {{{({x_{{H_1}}} - {x_N})}^2} + {{({y_{{H_1}}} - {y_N})}^2} + {{({z_{{H_1}}} - {z_N})}^2}} \)
Thay các tọa độ tương ứng để tính khoảng cách \(d(N,{H_1})\), \(d(N,{H_2})\), \(d(N,{H_3})\).
Lời giải chi tiết
a)
Bởi vì tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) là tam giác đều nên áp dụng vào định lý sin trong tam giác, ta có:
\({H_1}{H_2} = {H_1}{H_3} = {H_2}{H_3} = 2R\sin {60^\circ } = \sqrt 3 R\)
Trong trường hợp này, O là trọng tâm của tam giác \({H_1}{H_2}{H_3}\) và O cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp nên \(R = 2\), ta có: \(d = 2\sqrt 3 \)
b) Để tính khoảng cách giữa nguyên tử nitrogen \(N(0;0;z)\) với nguyên tử hydrogen \({H_1}(0; - 2;0)\), ta sử dụng công thức:
\(N{H_1} = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(z - 0)}^2}} = \sqrt {4 + {z^2}} \)
Vì khoảng cách từ gốc toạ độ O đến \({H_2}\) là 2, do đó \({H_2}\) có toạ độ là
\({H_2}(2\cos \theta ;2\sin \theta ;0)\)
Với θ là góc \(\widehat {xO{H_2}}\). Và vì \({H_1}{H_2}{H_3}\) là tam giác đều nên \(\widehat {xO{H_2}} = 30^\circ \).
Vậy \({H_2}\) có toạ độ là: \({H_2}(\sqrt 3 ;1;0)\)
Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {N{H_1}} ,\overrightarrow {N{H_2}} \)là:
\(\overrightarrow {N{H_1}} = \left( {0; - 2; - z} \right),\overrightarrow {N{H_2}} = \left( {\sqrt 3 ;1; - z} \right)\)
Từ đó ta có \(z\): \(\cos {107^\circ } = \frac{{\overrightarrow {N{H_1}} .\overrightarrow {N{H_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {N{H_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {N{H_2}} } \right|}} = \frac{{ - 2 + {z^2}}}{{4 + {z^2}}}\)
Suy ra: \( - 2 + {z^2} = \left( {4 + {z^2}} \right).\cos 107^\circ \Leftrightarrow 0,71{z^2} = 0,83 \Rightarrow z = 1,08\).
Bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 yêu cầu chúng ta khảo sát hàm số và tìm các điểm cực trị. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:
Để minh họa, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1. Giả sử hàm số cần khảo sát là:
y = x3 - 3x2 + 2
Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài tập liên quan đến khảo sát hàm số. Nó giúp chúng ta:
Để củng cố kiến thức, các em có thể luyện tập thêm với các bài tập tương tự sau:
Khi giải các bài tập về đạo hàm, các em cần lưu ý:
Hy vọng bài giải chi tiết bài tập 2.23 trang 80 SGK Toán 12 tập 1 này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương pháp giải và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Chúc các em học tập tốt!
