Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 3 trang 8 và 9 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2. Mục tiêu của chúng ta là nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán, từ đó đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.
Giaibaitoan.com cam kết cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:
\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Tính đạo hàm của \(2F(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)
Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)
Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {e^{2x + 1}};\)
b) \(g(x) = \frac{8}{x}\).
Phương pháp giải:
a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.
b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng \(\frac{1}{x}\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) được tính như sau:
Trước tiên, ta đổi biến đặt \(u = 2x + 1\). Khi đó, \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{{du}}{2}\). Tích phân của \(f(x)\) trở thành:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C\)
Thay \(u = 2x + 1\) trở lại:
\(\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2x + 1}}\) là:
\(F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
b)
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) được tính như sau: Ta biết rằng:
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C\)
Do đó:
\(\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{8}{x}\) là:
\(G(x) = 8\ln |x| + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).
- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).
- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:
\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)
trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.
Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:
\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)
trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.
Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)
Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).
Do đó, ta có:
\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)
Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^3} - {3^x};\)
b) \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\).
Phương pháp giải:
a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với \({x^3}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với \({3^x}\), sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác \(e\).
b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với \(\frac{1}{x}\), áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với \(\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\), nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của \({\csc ^2}x\).
Lời giải chi tiết:
a) Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - {3^x}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \({x^3}\):
\(\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}\)
Tính nguyên hàm của \( - {3^x}\):
\(\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b) Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\) được tính như sau:
Tính nguyên hàm của \(\frac{1}{x}\):
\(\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}\)
Tính nguyên hàm của \( - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\):
\(\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a) \(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};\)
b) \(h(t) = 2t(t - 3)\).
Phương pháp giải:
a)
- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
b)
- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.
- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
a)
Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\(g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}\):
\(\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
\(\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(g(x)\) là:
\(G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_1}\) và \({C_2}\)).
b)
Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:
\(h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t\)
Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số \(h(t) = 2{t^2} - 6t\):
\(\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt\)
Tính nguyên hàm của từng thành phần:
\(\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}\)
\(\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}\)
Vậy họ nguyên hàm của hàm số \(h(t)\) là:
\(H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C\)
trong đó \(C\) là hằng số tích phân (gộp từ \({C_3}\) và \({C_4}\)).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \(t\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \(P'(t) = 8t + 30\) (con/tháng), với \(P(t)\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \(t\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.
Phương pháp giải:
Tìm hàm số lượng cá thể \(P(t)\):
- Biết \(P'(t) = 8t + 30\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \(P(t)\), ta tìm \(P(t)\) bằng cách lấy tích phân của \(P'(t)\) và thêm hằng số tích phân \(C\).
- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \(C\).
Tính số lượng cá thể tại \(t = 3\):
- Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.
Lời giải chi tiết:
Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \(P'(t) = 8t + 30\). Tích phân của \(P'(t)\) là:
\(P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\)
với \(C\) là hằng số tích phân.
Theo đề bài, tại thời điểm \(t = 0\), số lượng cá thể là 100:
\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\)
Do đó, \(C = 100\). Vậy hàm số lượng cá thể là:
\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\)
Thay \(t = 3\) vào hàm \(P(t)\):
\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\)
Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.
Mục 3 trong SGK Toán 12 tập 2 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, trước tiên chúng ta cần nắm vững lý thuyết cơ bản và các công thức liên quan. Việc hiểu rõ bản chất của vấn đề sẽ giúp chúng ta lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tránh được những sai lầm không đáng có.
Bài tập về phương trình mũ và phương trình logarit thường yêu cầu chúng ta sử dụng các tính chất của lũy thừa, logarit và các phép biến đổi tương đương. Dưới đây là một số phương pháp giải thường được sử dụng:
Giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit tương tự như giải phương trình, nhưng cần chú ý đến việc đổi dấu bất phương trình khi nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm. Ngoài ra, cần xét kỹ điều kiện xác định của logarit để đảm bảo nghiệm tìm được là hợp lệ.
Các bài toán ứng dụng thường yêu cầu chúng ta mô hình hóa bài toán thực tế thành một phương trình hoặc bất phương trình mũ, logarit. Sau đó, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm ra nghiệm và diễn giải kết quả trong ngữ cảnh của bài toán.
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x = 8
Ta có 2x = 23, suy ra x = 3.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình log2(x + 1) > 3
Điều kiện xác định: x + 1 > 0, hay x > -1.
Ta có x + 1 > 23 = 8, suy ra x > 7.
Kết hợp điều kiện xác định, ta có nghiệm x > 7.
Việc giải các bài tập trong mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 đòi hỏi chúng ta phải nắm vững lý thuyết, hiểu rõ các phương pháp giải và luyện tập thường xuyên. Hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập và đạt được kết quả tốt nhất.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| logab = c | ac = b |
| loga(xy) = logax + logay | Logarit của tích bằng tổng các logarit |
| loga(x/y) = logax - logay | Logarit của thương bằng hiệu các logarit |
