Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Chương trình Toán 12 Cánh Diều, phần Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một trong những chủ đề quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này tại giaibaitoan.com sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để giúp bạn hiểu sâu sắc và tự tin làm bài.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản như điểm cực trị, khoảng đơn điệu, điều kiện để hàm số đạt cực trị và cách xác định tính đơn điệu của hàm số. Đồng thời, bài viết cũng sẽ hướng dẫn bạn cách áp dụng các kiến thức này vào việc giải các bài toán thực tế.

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0
Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

Nếu f’(x) \( \ge \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
Nếu f’(x) \( \le \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều 3

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều trong chuyên mục đề toán lớp 12 trên nền tảng môn toán! Bộ bài tập toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Trong chương trình Toán 12 Cánh Diều, việc nắm vững lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ là nền tảng để giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là kiến thức cần thiết cho các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số

Một hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≤ f(x₂). Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng (a, b) nếu với mọi x₁, x₂ thuộc (a, b) và x₁ < x₂ thì f(x₁) ≥ f(x₂).

2. Điều kiện để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có đạo hàm trên khoảng đó. Khi đó:

Hàm số f(x) đồng biến trên (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a, b).
Hàm số f(x) nghịch biến trên (a, b) khi và chỉ khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc (a, b).

3. Khái niệm về cực trị của hàm số

Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.

4. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0. Tuy nhiên, điều kiện này chưa đủ để kết luận hàm số có cực trị tại x₀.

5. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có đạo hàm f'(x) trên khoảng đó. Khi đó:

Nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số.
Nếu f'(x₀) = 0 và f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

6. Quy tắc xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu và cực trị

Để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số f(x), ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x).
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Lập bảng xét dấu f'(x).
Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu.

7. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta có f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2). Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 và x = 2.

Lập bảng xét dấu f'(x):

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	0	-	+
f(x)	Đồng biến	Cực đại	Nghịch biến	Cực tiểu

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt!