Chào mừng các em học sinh đến với bài giải bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\) b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\) c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Đề bài
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)
b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)
c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
- \(\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}(\) với \(n \ne - 1)\);
- \(\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{1 - n}}}}{{1 - n}}\);
- \(\int {{{\sin }^2}} (x)dx = \) sử dụng công thức nửa góc: \({\sin ^2}(x) = \frac{{1 - \cos (2x)}}{2}\);
- \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}} dx = - \cot (x)\);
- \(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln (a)}}\), với \(a > 0\).
Lời giải chi tiết
a) \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{{{x^2}}}\)
Nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C\)
b) \(f(x) = {\sin ^2}\frac{x}{2} + {3^{2x}}\)
Áp dụng công thức nửa góc:
\({\sin ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 - \cos x}}{2}\)
Ta có:
\(F(x) = \frac{x}{2} - \frac{{\sin x}}{2} + \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} + C\)
c) \(f(x) = \sqrt {3x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}\)
Nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(F(x) = \frac{2}{9} \times {(3x)^{3/2}} + 4\cot (x) + C\).
Bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để khảo sát hàm số. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm khoảng đơn điệu, cực trị, và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x3 - 3x2 + 2
Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là D = ℝ.
y' = 3x2 - 6x
Giải phương trình y' = 0: 3x2 - 6x = 0 => 3x(x - 2) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Điểm x = 0 là điểm cực đại, giá trị cực đại là y(0) = 2.
Điểm x = 2 là điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu là y(2) = -2.
y'' = 6x - 6
Giải phương trình y'' = 0: 6x - 6 = 0 => x = 1
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Bài tập 4.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em học sinh có thể tự tin giải bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán 12.
