Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 tại giaibaitoan.com. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về số phức và các phép toán liên quan.
Chúng tôi cung cấp lời giải đầy đủ, dễ hiểu, giúp các em nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \) a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\) b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\) c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Đề bài
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \)
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = (a;b;c)\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (A;B;C)\), khi đó góc \((d,\alpha )\) được tính theo công thức:
\(\sin \left( {(d,\alpha )} \right) = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{\left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec n} \right|}}\)
hoặc
\(\sin \left( {(d,\alpha )} \right) = \frac{{|aA + bB + cC|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)
Lời giải chi tiết
a)
- Vector chỉ phương của \(d\): \(\vec u = (1;2;2)\)
- Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 1 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 0 = 6\)
\(|\vec u| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3,\quad |\vec n| = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)
\(\sin \theta = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u||\vec n|}} = \frac{6}{{3 \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad \theta = {45^\circ }\)
b)
- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (7; - 8; - 15)\)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (2;2;0)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 7 \times 2 + ( - 8) \times 2 + ( - 15) \times 0 = - 2\)
\(|\vec u| = \sqrt {{7^2} + {{( - 8)}^2} + {{( - 15)}^2}} = \sqrt {338} ,\quad |\vec n| = 2\sqrt 2 \)
\(\sin \theta = \frac{2}{{\sqrt {338} \times 2\sqrt 2 }} = \frac{1}{{26}}\quad \Rightarrow \quad \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{26}}} \right)\)
c)
- Vector chỉ phương của d: \(\vec u = (3; - 1;2)\)
- Vector pháp tuyến của \(\alpha \): \(\vec n = (6; - 2;4)\)
\(\vec u \cdot \vec n = 3 \times 6 + ( - 1) \times ( - 2) + 2 \times 4 = 28\)
\(|\vec u| = \sqrt {{3^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} = \sqrt {14} ,\quad |\vec n| = \sqrt {{6^2} + {{( - 2)}^2} + {4^2}} = \sqrt {56} \)
\(\sin \theta = \frac{{28}}{{\sqrt {14} \times \sqrt {56} }} = \frac{{28}}{{28}} = 1\quad \Rightarrow \quad \theta = {90^\circ }\)
Bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 yêu cầu chúng ta tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm:
Trước khi đi vào lời giải chi tiết, chúng ta cần phân tích bài toán để xác định rõ yêu cầu và phương pháp giải phù hợp. Thông thường, các bài toán về số phức sẽ yêu cầu chúng ta:
Dưới đây là lời giải chi tiết bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2. Chúng ta sẽ trình bày từng bước giải một cách rõ ràng và dễ hiểu:
Đề bài: (Giả sử đề bài là: Tìm số phức z biết |z - (2 + i)| = √5 và phần thực của z bằng 1)
Giải:
Gọi z = x + yi, với x, y là các số thực. Theo đề bài, ta có:
Thay x = 1 vào phương trình |(x - 2) + (y - 1)i| = √5, ta được:
|(1 - 2) + (y - 1)i| = √5 => |-1 + (y - 1)i| = √5
=> (-1)² + (y - 1)² = 5 => 1 + (y - 1)² = 5 => (y - 1)² = 4
=> y - 1 = ±2
Trường hợp 1: y - 1 = 2 => y = 3. Vậy z = 1 + 3i
Trường hợp 2: y - 1 = -2 => y = -1. Vậy z = 1 - i
Kết luận: Vậy z = 1 + 3i hoặc z = 1 - i
Để củng cố kiến thức về số phức, các em có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:
Khi giải bài tập về số phức, các em cần lưu ý những điều sau:
Bài tập 5.26 trang 71 SGK Toán 12 tập 2 là một bài tập điển hình về số phức. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các em sẽ hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập về số phức. Chúc các em học tập tốt!
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục kiến thức Toán học.
