Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1. Mục tiêu của chúng ta là không chỉ tìm ra đáp án đúng mà còn hiểu rõ phương pháp giải để áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến cho bạn những tài liệu học tập chất lượng cao, giúp bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất trong môn Toán.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}})
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 30 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\)
b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Xét sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết:
a)
- Tập xác định: D = R \ {-1}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = - \infty .\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty .\)
Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} = - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức)
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 1}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - {x^2} - 2x \leftrightarrow - x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\).
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2,{y_{CT}} = 2\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 2\).
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = - x - 1\).
Giao điểm với trục Oy là \((0, - 2)\).
b)
- Tập xác định: D = R \ {2}.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang
\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x + 1}}\) .
Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x\) là tiệm cận xiên của hàm số.
Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\).
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2,\(\infty \)).
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
- Vẽ đồ thị:
Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.
Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\)).
Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0).
Mục 4 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề cụ thể trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, trước hết, chúng ta cần nắm vững lý thuyết cơ bản liên quan. Hãy bắt đầu bằng việc ôn lại các định nghĩa, tính chất, và công thức quan trọng.
Giả sử bài tập yêu cầu tính giới hạn của một hàm số. Để giải bài tập này, chúng ta cần áp dụng các quy tắc tính giới hạn, chẳng hạn như quy tắc chia, quy tắc nhân, và quy tắc giới hạn đặc biệt. Hãy phân tích kỹ đề bài và xác định các bước cần thực hiện để tìm ra đáp án chính xác.
Ví dụ:
Nếu bài tập liên quan đến đạo hàm, chúng ta cần sử dụng các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc đạo hàm. Hãy nhớ rằng đạo hàm của một hàm số tại một điểm cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó.
Ví dụ:
Trong trường hợp bài tập yêu cầu giải phương trình hoặc bất phương trình, chúng ta cần sử dụng các phương pháp đại số phù hợp, chẳng hạn như phương pháp phân tích thành nhân tử, phương pháp đặt ẩn phụ, hoặc phương pháp sử dụng đồ thị. Hãy chú ý đến điều kiện xác định của phương trình hoặc bất phương trình.
Ví dụ:
| Phương pháp | Ứng dụng |
|---|---|
| Phân tích thành nhân tử | Giải phương trình bậc hai, bậc ba |
| Đặt ẩn phụ | Giải phương trình phức tạp |
| Sử dụng đồ thị | Giải phương trình, bất phương trình |
Để đạt được kết quả tốt nhất, bạn nên:
Giaibaitoan.com hy vọng rằng với những hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 một cách hiệu quả. Chúc bạn học tập tốt!
Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và kỹ năng giải bài tập là yếu tố then chốt để thành công trong môn Toán 12. Hãy dành thời gian ôn tập và thực hành thường xuyên để đạt được kết quả tốt nhất. Đừng ngần ngại tìm kiếm sự giúp đỡ từ giáo viên hoặc bạn bè nếu bạn gặp khó khăn. Chúc bạn thành công trên con đường chinh phục môn Toán!
