Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tại giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết các bài tập trong mục 3 của SGK Toán 12 tập 1, cụ thể là các trang 60, 61, 62, 63 và 64.
Mục tiêu của chúng tôi là cung cấp cho các em những lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18). a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao? b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có \(\widehat {BAC} = \alpha \). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).
a) Vẽ hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) lần lượt bằng \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \). ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?
b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \), \(\overrightarrow {MQ} \) và so sánh góc đó với \(\alpha \).
Phương pháp giải:
- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.
- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AB} \) suy ra MP = AB và MP // AB (1)
Tương tự: \(\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {A'C'} \) suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta MPQ = \Delta ABC\).
ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.
b) Vì \(\Delta MPQ = \Delta ABC\) nên \(\widehat {PMQ} = \widehat {BAC} = \alpha \).
Mà góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {MP} \) và \(\overrightarrow {MQ} \) là góc\(\widehat {PMQ}\).
Vậy \(\widehat {(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MQ} )} = \alpha \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và
a) vecto \(\overrightarrow {AB} \);
b) vectơ \(\overrightarrow {AD} \);
c) vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.
Lời giải chi tiết:
Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là \(a\).
a) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AB} \):
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(\widehat {BAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AB} )} = 45^\circ \).
b) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {AD} \):
Tương tự như câu a ta có: \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Mà góc giữa \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là \(\widehat {DAC}\) và vì ABCD là hình vuông nên \(\widehat {DAC} = 45^\circ \).
Suy ra \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {AD} )} = 45^\circ \).
c) Tìm góc giữa vectơ \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} \) và vectơ \(\overrightarrow {{B^\prime }B} \):
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra \(\overrightarrow {B'B} = \overrightarrow {O'O} \).
Mà \(O'O \bot AC\) nên \(\widehat {(\overrightarrow {A'C'}, \overrightarrow {B'B} )} = 90^\circ \).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).
Phương pháp giải:
1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng \((P)\).
2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Trong mặt phẳng \((P)\), biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) được tính như sau:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\overrightarrow {{a^\prime }} | \cdot |\overrightarrow {{b^\prime }} | \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
b) Vì \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\), nên:
\(|\overrightarrow {{a^\prime }} | = |\vec a|,|\overrightarrow {{b^\prime }} | = |\vec b|\)
Do đó, ta có:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos \theta \)
trong đó \(\theta \) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \).
Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) là bằng tích của độ lớn của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:
\(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\)
Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) trong mặt phẳng \((P)\) bằng tích vô hướng của \(\vec a\) và \(\vec b\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:
a) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} ;\)
b) \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} ;\)
c) \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} .\)
Phương pháp giải:
- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.
- Sử dụng công thức tích vô hướng \(\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos \theta \) để tính.
Lời giải chi tiết:
Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.
a) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {A'C'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = |\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là \({60^^\circ }\) vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {A'C'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\cos 60^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\frac{1}{2} = {a^2}\).
b) Tính \(\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {AB'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BD} | = a\sqrt 2 \) (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).
Từ B vẽ một vectơ \(\overrightarrow {BE} \) bằng với vectơ \(\overrightarrow {AB'} \).
Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Suy ra: \(\widehat {DBE} = 2\arccos \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:a\sqrt 2 } \right) = 2\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \).
Góc giữa \(\overrightarrow {AB'} \) và \(\overrightarrow {BD} \) cũng là góc giữa \(\overrightarrow {BE} \)và \(\overrightarrow {BD} \) là \(\widehat {DBE}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BD} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos 120^\circ = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {a^2}\).
c) Tính \(\overrightarrow {A'C'} \cdot \overrightarrow {BB'} \).
Độ dài của \(|\overrightarrow {A'C'} | = a\sqrt 2 \) và \(|\overrightarrow {BB'} | = a\).
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AA'} \) vuông góc với nhau nên góc giữa \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BB'} \) Là 90°.
Suy ra: \(\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {BB'} = \left| {\overrightarrow {A'C'} } \right|.\left| {\overrightarrow {BB'} } \right|.\cos 90^\circ = a\sqrt 2 .a.0 = 0\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD có \(DA = DB = a\), \(BC = \frac{a}{2}\), \(AB \bot BC\) và \(\widehat {CBD} = {45^^\circ }\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} \), từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = BC.DB.\cos 45^\circ = \frac{a}{2}.a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\).
Mà: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} \).
Suy ra: \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4} + 0 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)(vì \(AB \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} = 0\)).
Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{|\overrightarrow {AD} | \times |\overrightarrow {BC} |}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}}{{a.\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là \(\arccos \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 45^\circ \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Một chất điểm ở vị trí đỉnh \(A\) của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC'} \) như Hình 2.25. Cường độ của các lực \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) tương ứng là \(10{\rm{ N}}\), \(10{\rm{ N}}\) và \(20{\rm{ N}}\). Tính cường độ hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\).
\(F{}^\text{2}=\text{}{{F}_{1}}{}^\text{2}+{{F}_{2}}{}^\text{2}+2.{{}_{1}}.{{F}_{2}}.\cos \alpha \).
- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với \(\vec c\).
Lời giải chi tiết:
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa \(\overrightarrow {AD} \)và \(\overrightarrow {AB} \) là 90°.
Suy ra lực \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\). Vậy hợp lực của hai lực \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
\(\overrightarrow {{F_{ab}}} = \overrightarrow {{F_a}} + \overrightarrow {{F_b}} \Rightarrow {F_{ab}} = \sqrt {{F_a}^2 + {F_b}^2} = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 N\).
Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:
\(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {A{C^2} + \frac{{A{C^2}}}{2}} = AC\sqrt {\frac{3}{2}} \) (vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên \(CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }}\)).
\(\cos \widehat {CAC'} = \frac{{AC}}{{AC'}} = \frac{{AC}}{{AC\sqrt {\frac{3}{2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Hợp lực của \(\vec a\), \(\vec b\) và \(\vec c\) là:
\(F = \sqrt {{F_{ab}}^2 + F_c^2 + 2.{F_{ab}}.{F_c}.\cos \widehat {CAC'}} = \sqrt {{{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2} + {{20}^2} + 2.10\sqrt 2 .20.\frac{{\sqrt 6 }}{3}} = 32,6N\).
Mục 3 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Để giải quyết các bài tập trong mục này một cách hiệu quả, trước hết, chúng ta cần nắm vững lý thuyết cơ bản liên quan. Hãy bắt đầu bằng việc ôn lại các định nghĩa, tính chất, công thức và các ví dụ minh họa đã được học trong sách giáo khoa.
Nội dung chính của Mục 3:
Hướng dẫn giải chi tiết:
Bài tập 1 (Trang 60):
Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1.
Giải:
Ta có: lim (x->1) (x^2 - 1) / (x - 1) = lim (x->1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1) = lim (x->1) (x + 1) = 1 + 1 = 2.
Bài tập 2 (Trang 61):
Để giải bài tập này, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.
Giải:
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2). Đặt f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2. f''(x) = 6x - 6. f''(0) = -6 < 0, nên x = 0 là điểm cực đại. f''(2) = 6 > 0, nên x = 2 là điểm cực tiểu.
Bài tập 3 (Trang 62):
... (Tiếp tục giải thích và đưa ra ví dụ cho các bài tập còn lại tương tự)
Lưu ý quan trọng:
Hy vọng với những hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập trong mục 3 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt!
