Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương 5: Phương pháp tọa độ trong không gian - SGK Toán 12

Chương 5 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2 tập trung vào việc ứng dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.

1. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian là một khái niệm mở rộng từ vectơ trong mặt phẳng. Một vectơ trong không gian được xác định bởi độ dài và hướng. Để biểu diễn một vectơ trong không gian, ta sử dụng ba tọa độ (x, y, z) liên quan đến ba trục tọa độ vuông góc với nhau.

• Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
• Các phép toán trên vectơ: Cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số thực.
• Tích vô hướng của hai vectơ: a.b = |a||b|cos(θ), với θ là góc giữa hai vectơ.
• Tích có hướng của hai vectơ: [a, b] là một vectơ vuông góc với cả a và b.

2. Mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bằng nhiều cách khác nhau, ví dụ như:

• Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0
• Phương trình tham số của mặt phẳng: x = x0 + a1t + a2u, y = y0 + b1t + b2u, z = z0 + c1t + c2u
• Mặt phẳng định bởi ba điểm: Sử dụng phương pháp tìm vectơ pháp tuyến và áp dụng phương trình tổng quát.

3. Đường thẳng trong không gian

Tương tự như mặt phẳng, đường thẳng trong không gian cũng có nhiều cách biểu diễn:

• Phương trình tham số của đường thẳng: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct
• Phương trình chính tắc của đường thẳng: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c
• Đường thẳng định bởi hai điểm: Sử dụng phương pháp tìm vectơ chỉ phương và áp dụng phương trình tham số.

4. Quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng

Việc xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một bài toán quan trọng trong chương này. Có các trường hợp sau:

• Đường thẳng song song với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
• Đường thẳng cắt mặt phẳng: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách giải hệ phương trình.

5. Khoảng cách

Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, từ một điểm đến đường thẳng, và giữa hai đường thẳng là những bài toán thường gặp. Các công thức tính khoảng cách cần được nắm vững để giải quyết các bài toán thực tế.

Ví dụ minh họa

Bài toán: Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 1 = 0 và điểm A(1, 2, 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

Giải: Khoảng cách d từ điểm A(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được tính theo công thức:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)

Trong trường hợp này, A = 2, B = -1, C = 3, D = -1, x0 = 1, y0 = 2, z0 = 3. Thay vào công thức, ta được:

d = |2(1) - 1(2) + 3(3) - 1| / √(2² + (-1)² + 3²) = |2 - 2 + 9 - 1| / √14 = 8 / √14 = 4√14 / 7

Lời khuyên khi học chương 5

1. Nắm vững các định nghĩa và tính chất cơ bản của vectơ, mặt phẳng và đường thẳng trong không gian.
2. Luyện tập giải nhiều bài tập để làm quen với các dạng bài khác nhau.
3. Sử dụng hình vẽ để minh họa và hiểu rõ hơn về các khái niệm.
4. Tham khảo các tài liệu tham khảo và các nguồn học liệu trực tuyến để bổ sung kiến thức.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ học tốt chương 5 Toán 12 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc bạn thành công!