Giải bài tập 5.12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(C(5; - 1;0)\), \(D(1;2;1)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((BCDF),(ABFE),(DEF)\).

b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến các mặt phẳng \((BCDF)\) và \((DEF)\).

Lời giải chi tiết

a)

Phương trình mặt phẳng \((BCDF)\):

- Xét các điểm \(B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {BC} = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD} = (4,3,5)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {BC} \times \overrightarrow {BD} = ( - 1, - 2,2)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(x + 2y - 2z - 3 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((ABFE)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {FD} \to \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OF} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {BC} = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)\)

- Xét các điểm \(A(2; - 1;6)\), \(B( - 3; - 1; - 4)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {AB} = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF} = ( - 9;3; - 9)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AF} = (30;45; - 15)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((DEF)\):

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \to \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {OE} \to \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} - \overrightarrow {AB} = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)\)

- Xét các điểm \(D(1;2;1)\),

\(E( - 2;2;7)\), \(F( - 7;2; - 3)\).

- Tính các vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow {DE} = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF} = ( - 8;0; - 4)\)

- Tính tích có hướng:

\(\vec n = \overrightarrow {DE} \times \overrightarrow {DF} = (0; - 60;0)\)

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

\( - 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow - y + 2 = 0\)

b)

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là:

\(d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\)

Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((BCDF)\) là \(d = 5\).

Khoảng cách từ \(A(2; - 1;6)\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là:

\(d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3\)

 Vậy khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((DEF)\) là \(d = 3\).