Chủ đề Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và ứng dụng thực tế. Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp một hệ thống kiến thức đầy đủ, dễ hiểu về lý thuyết này.
Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững các khái niệm cơ bản, định lý quan trọng và phương pháp giải bài tập liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số, từ đó nâng cao khả năng giải quyết các bài toán phức tạp.
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý
1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Định lý
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)). - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0. - Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0. |
Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4.
Định lý mở rộng
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). - Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b). |
2. Cực trị của hàm số
Khái niệm cực trị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\). - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\). |
Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2.
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2.
Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó: - Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). - Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x). |
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).
Tập xác định của hàm số là R.
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.
BBT:
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.
Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)
|
Chương trình Toán 12, phần Giải tích, tập trung vào việc nghiên cứu hàm số, và một trong những nội dung quan trọng nhất là lý thuyết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Hiểu rõ lý thuyết này không chỉ giúp học sinh giải quyết các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là nền tảng vững chắc cho các kiến thức toán học nâng cao.
1. Tính đơn điệu của hàm số: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≤ f(x2). Hàm số được gọi là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2, ta có f(x1) ≥ f(x2).
2. Cực trị của hàm số: Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Tương tự, điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x0 sao cho f(x) ≥ f(x0) với mọi x thuộc (a, b). Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
Nếu hàm số f(x) có cực trị tại điểm x0 thì f'(x0) = 0 và f'(x0) không đổi dấu khi x đi qua x0.
Điều này có nghĩa là, để tìm các điểm cực trị của hàm số, ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 (gọi là điểm dừng) và kiểm tra xem đạo hàm có đổi dấu hay không tại các điểm này.
1. Điều kiện đủ để hàm số có cực đại tại x0: Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) < 0 thì hàm số f(x) có cực đại tại x0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực tiểu tại x0: Nếu f'(x0) = 0 và f''(x0) > 0 thì hàm số f(x) có cực tiểu tại x0.
Xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
f'(x) = 3x2 - 6x.
Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
f''(x) = 6x - 6.
f''(0) = -6 < 0, suy ra hàm số có cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
f''(2) = 6 > 0, suy ra hàm số có cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Lý thuyết này có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Việc nắm vững lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 là vô cùng quan trọng. giaibaitoan.com hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này.
