Chào mừng các em học sinh đến với chuyên mục giải bài tập Toán 12 tập 1 của giaibaitoan.com. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong mục 2 trang 68, 69, 70 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1.
Mục tiêu của chúng tôi là giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt nhất trong môn học Toán.
Cho điểm trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng , và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32. a) Biếu diễn theo hai vecto và . b) Biểu diễn theo hai vecto đơn vị . c) Biểu diễn theo ba vectơ dơn vị .
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho điểm \(M\) trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) và \(\overrightarrow {OC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) theo hai vecto đơn vị \(\vec \imath ,\vec \jmath \).
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ dơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định nghĩa, các quy tắc về vectơ trong không gian và mối quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị.
Lời giải chi tiết:
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OM'} \) và \(\overrightarrow {OC} \):
Do \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) nên OCMM’ là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OCMM’, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \)
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM'} \) theo hai vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j\):
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OAM’B, ta có:
\(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow j \) nên:
\(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\):
Từ câu a, b ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
Lại có \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow k \) nên:
\(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 4\vec j + 4\vec k\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.
Phương pháp giải:
Trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác. Nếu các đỉnh của tam giác là \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\), tọa độ của trọng tâm G được tính bằng:
\(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của điểm trọng tâm G là trung bình cộng của toạ độ các điểm A, B, C.
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 6 + 0}}{3} = \frac{7}{3}\)
\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\)
\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{9 + 0 + 1}}{3} = \frac{{10}}{3}\)
Toạ độ của trọng tâm G là: \(G\left( {\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{{10}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ tự cùng hướng với các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) và có \(AB = a,AD = b,AA' = c\). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Hãy xác định toạ độ các điểm B, C, C’ và M.
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ điểm cơ bản: Sử dụng các vectơ đơn vị để xác định tọa độ của các điểm quan trọng trong không gian.
Xác định tọa độ các điểm còn lại: Tính tọa độ của các điểm đối diện trong hình hộp dựa trên tọa độ của các điểm đã biết.
Tính tọa độ trung điểm: Sử dụng công thức tính trung điểm để tìm tọa độ của điểm trung gian trên cạnh.
Lời giải chi tiết:
- Xác định tọa độ các điểm cơ bản:
Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) vì A trùng với gốc tọa độ O.
Tọa độ của điểm B: Điểm B nằm cách điểm A một đoạn a theo hướng của vector đơn vị \(\vec i\). Vì vậy, tọa độ của B là (a, 0, 0).
Tọa độ của điểm D: Điểm D nằm cách điểm A một đoạn b theo hướng của vector đơn vị \(\vec j\). Vì vậy, tọa độ của D là (0, b, 0).
Tọa độ của điểm A': Điểm A' nằm cách điểm A một đoạn c theo hướng của vector đơn vị \(\vec k\). Vì vậy, tọa độ của A' là (0, 0, c).
- Xác định tọa độ các điểm còn lại:
Tọa độ của điểm C: Điểm C nằm đối diện với điểm A trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B và D. Vì vậy, tọa độ của C là (a, b, 0).
Tọa độ của điểm C': Điểm C' nằm đối diện với điểm A' trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B' và D'. Vì vậy, tọa độ của C' là (a, b, c).
Trung điểm của đoạn thẳng CC' có tọa độ trung bình của tọa độ C và C'. Tọa độ của C là (a, b, 0) và tọa độ của C' là (a, b, c). Do đó, tọa độ của M là:
\(M = \left( {\frac{{a + a}}{2},\frac{{b + b}}{2},\frac{{0 + c}}{2}} \right) = (a,b,\frac{c}{2})\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho điểm \(M\) trong không gian Oxyz. Trong ba mặt phẳng tọa độ là ba lưới ô vuông có cạnh bằng đơn vị. Biết rằng \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) và vị trí các điểm M’, A, B, C được cho như trong Hình 2.32.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) và \(\overrightarrow {OC} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {O{M^\prime }} \) theo hai vecto đơn vị \(\vec \imath ,\vec \jmath \).
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ dơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các định nghĩa, các quy tắc về vectơ trong không gian và mối quan hệ trực giao giữa các mặt phẳng tọa độ để biểu diễn các vectơ theo các vectơ đơn vị.
Lời giải chi tiết:
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {OM'} \) và \(\overrightarrow {OC} \):
Do \(MM' \bot (Oxy)\), \(MC \bot Oz\) nên OCMM’ là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OCMM’, ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \)
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM'} \) theo hai vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j\):
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình chữ nhật OAM’B, ta có:
\(\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Mà \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i ,\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow j \) nên:
\(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
c) Biểu diễn \(\overrightarrow {OM} \) theo ba vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\):
Từ câu a, b ta có:
\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {OC} \) và \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
Lại có \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow k \) nên:
\(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + 4\vec j + 4\vec k\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 69 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;9), B(6;1;0) và C(0;0;1). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm G.
Phương pháp giải:
Trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác. Nếu các đỉnh của tam giác là \(A({x_1},{y_1},{z_1})\), \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), và \(C({x_3},{y_3},{z_3})\), tọa độ của trọng tâm G được tính bằng:
\(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3},\frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3},\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Toạ độ của điểm trọng tâm G là trung bình cộng của toạ độ các điểm A, B, C.
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 6 + 0}}{3} = \frac{7}{3}\)
\({y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{0 + 1 + 0}}{3} = \frac{1}{3}\)
\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{9 + 0 + 1}}{3} = \frac{{10}}{3}\)
Toạ độ của trọng tâm G là: \(G\left( {\frac{7}{3},\frac{1}{3},\frac{{10}}{3}} \right)\)
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 70 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \] theo thứ tự cùng hướng với các vectơ đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) và có \(AB = a,AD = b,AA' = c\). Gọi M là trung điểm cạnh CC’. Hãy xác định toạ độ các điểm B, C, C’ và M.
Phương pháp giải:
Xác định tọa độ điểm cơ bản: Sử dụng các vectơ đơn vị để xác định tọa độ của các điểm quan trọng trong không gian.
Xác định tọa độ các điểm còn lại: Tính tọa độ của các điểm đối diện trong hình hộp dựa trên tọa độ của các điểm đã biết.
Tính tọa độ trung điểm: Sử dụng công thức tính trung điểm để tìm tọa độ của điểm trung gian trên cạnh.
Lời giải chi tiết:
- Xác định tọa độ các điểm cơ bản:
Tọa độ của điểm A là (0, 0, 0) vì A trùng với gốc tọa độ O.
Tọa độ của điểm B: Điểm B nằm cách điểm A một đoạn a theo hướng của vector đơn vị \(\vec i\). Vì vậy, tọa độ của B là (a, 0, 0).
Tọa độ của điểm D: Điểm D nằm cách điểm A một đoạn b theo hướng của vector đơn vị \(\vec j\). Vì vậy, tọa độ của D là (0, b, 0).
Tọa độ của điểm A': Điểm A' nằm cách điểm A một đoạn c theo hướng của vector đơn vị \(\vec k\). Vì vậy, tọa độ của A' là (0, 0, c).
- Xác định tọa độ các điểm còn lại:
Tọa độ của điểm C: Điểm C nằm đối diện với điểm A trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B và D. Vì vậy, tọa độ của C là (a, b, 0).
Tọa độ của điểm C': Điểm C' nằm đối diện với điểm A' trong hình hộp và nằm trên mặt phẳng chứa B' và D'. Vì vậy, tọa độ của C' là (a, b, c).
Trung điểm của đoạn thẳng CC' có tọa độ trung bình của tọa độ C và C'. Tọa độ của C là (a, b, 0) và tọa độ của C' là (a, b, c). Do đó, tọa độ của M là:
\(M = \left( {\frac{{a + a}}{2},\frac{{b + b}}{2},\frac{{0 + c}}{2}} \right) = (a,b,\frac{c}{2})\)
Mục 2 của SGK Toán 12 tập 1 thường tập trung vào một chủ đề quan trọng trong chương trình học. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập trong mục này là nền tảng để học tốt các kiến thức tiếp theo. Các bài tập trong mục 2 trang 68, 69, 70 thường bao gồm các dạng bài tập khác nhau, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Bài tập này thường yêu cầu học sinh áp dụng một định nghĩa hoặc công thức nào đó để giải quyết một vấn đề cụ thể. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số, tìm cực trị của hàm số, hoặc giải một phương trình.
Lời giải: (Cung cấp lời giải chi tiết cho bài tập 1, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa)
Bài tập này có thể là một bài toán thực tế, yêu cầu học sinh phân tích và giải quyết bằng các kiến thức toán học. Ví dụ, bài tập có thể liên quan đến việc tính lãi suất ngân hàng, tính diện tích hình học, hoặc tính vận tốc của một vật thể.
Lời giải: (Cung cấp lời giải chi tiết cho bài tập 2, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa)
Bài tập này có thể là một bài tập tổng hợp, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức và kỹ năng khác nhau để giải quyết. Ví dụ, bài tập có thể yêu cầu tìm tập xác định của hàm số, vẽ đồ thị hàm số, hoặc giải một hệ phương trình.
Lời giải: (Cung cấp lời giải chi tiết cho bài tập 3, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và ví dụ minh họa)
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để học tốt môn Toán 12:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trong bài viết này, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập trong mục 2 trang 68, 69, 70 SGK Toán 12 tập 1. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
