Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số Toán 12

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Chào mừng bạn đến với bài học về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trong chương trình Toán 12. Đây là một chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng, các định lý quan trọng và phương pháp giải bài tập một cách hiệu quả.

Giaibaitoan.com tự hào là nền tảng học toán online uy tín, cung cấp nội dung chất lượng và dễ hiểu, giúp bạn chinh phục môn Toán một cách dễ dàng.

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

+) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \le \) M với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = M. Kí hiệu M = \(\mathop {\max }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc M = \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\).

+) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) \( \ge \) m với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f({x_0})\) = m. Kí hiệu m = \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} f(x)\) hoặc m = \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\).

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \).

Tập xác định của hàm số là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có:

\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \ge \) 0; dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 0\), tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f( - 1) = f(1) = 0\).

\(f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \) \( \le 1\); dấu bằng xảy ra khi \(1 - {x^2} = 1\), tức x = 0.

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f(x) = f(0) = 1\).

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n} \in (a;b)\), tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại.
Tính \(f({x_1}),f({x_2}),...,f({x_n}),f(a)\) và \(f(b)\).
Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:
M = \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\); m = \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x)\).

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2);y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \sqrt 2 \) (vì \(x \in \left[ {0;4} \right]\)).

y(0) = 3; y(4) = 195; y(\(\sqrt 2 \)) = -1.

Do đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(4) = 195\); \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y(\sqrt 2 ) = - 1\).

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá 1

Chinh phục điểm cao Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, rộng mở cánh cửa Đại học với nội dung Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá trong chuyên mục đề thi toán 12 trên nền tảng đề thi toán! Bộ bài tập lý thuyết toán thpt, được biên soạn chuyên sâu, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình Toán 12, cam kết tối ưu hóa toàn diện lộ trình ôn luyện. Qua đó, học sinh không chỉ làm chủ mọi dạng bài thi mà còn trang bị chiến thuật làm bài hiệu quả, tự tin đạt kết quả đột phá, tạo nền tảng vững chắc cho Kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia và hành trang vững vàng vào đại học, nhờ phương pháp tiếp cận trực quan, khoa học và mang lại hiệu quả học tập vượt trội.

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12

Trong chương trình Toán 12, việc nắm vững lý thuyết về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là vô cùng quan trọng. Nó không chỉ giúp bạn hiểu sâu sắc về tính chất của hàm số mà còn là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia.

1. Khái niệm về Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Ta nói:

M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = M.
m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x₀ thuộc D sao cho f(x₀) = m.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập D còn được gọi là cực trị của hàm số trên D.

2. Điều kiện để hàm số đạt GTLN, GTNN trên một khoảng hoặc đoạn

Để tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên một khoảng hoặc đoạn, ta thường thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
Tìm các điểm dừng (điểm mà f'(x) = 0) và các điểm không xác định đạo hàm.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng, điểm không xác định đạo hàm và các mút của khoảng hoặc đoạn.
So sánh các giá trị này để tìm ra GTLN và GTNN.

3. Các định lý về GTLN và GTNN

Định lý 1: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì f(x) đạt GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Định lý 2: Nếu hàm số f(x) đạt GTLN hoặc GTNN tại điểm x₀ thuộc khoảng (a, b) và f'(x₀) tồn tại thì f'(x₀) = 0.

4. Phương pháp giải bài tập tìm GTLN và GTNN

Có nhiều phương pháp để giải bài tập tìm GTLN và GTNN, tùy thuộc vào dạng bài toán. Một số phương pháp thường được sử dụng:

Phương pháp sử dụng đạo hàm: Đây là phương pháp phổ biến nhất, dựa trên việc tìm các điểm dừng và so sánh giá trị của hàm số tại các điểm này.
Phương pháp đánh giá: Sử dụng các bất đẳng thức và tính chất của hàm số để đánh giá GTLN và GTNN.
Phương pháp biến đổi: Biến đổi hàm số về dạng đơn giản hơn để dễ dàng tìm GTLN và GTNN.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0, 3].

Giải:

Tính đạo hàm: f'(x) = 2x - 4.
Tìm điểm dừng: f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2.
Tính giá trị của hàm số tại các điểm dừng và mút của đoạn: f(0) = 3, f(2) = -1, f(3) = 0.
So sánh các giá trị: GTLN của f(x) trên [0, 3] là 3 tại x = 0, GTNN của f(x) trên [0, 3] là -1 tại x = 2.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập về GTLN và GTNN của hàm số, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Giaibaitoan.com cung cấp một kho bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và tự tin giải quyết các bài toán khó.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!