Chào mừng bạn đến với giaibaitoan.com, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 12. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài tập 2.1 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập tốt nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Cho hình tứ diện đều ABCD (Hình 2.5) a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện? Liệt kê tất cả những vectơ đó. b) Bạn Lan nói: "\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) vì các vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới)". Khẳng định của bạn Lan có đúng không? Vì sao?
Đề bài
Cho hình tứ diện đều ABCD (Hình 2.5)
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện? Liệt kê tất cả những vectơ đó.
b) Bạn Lan nói: "\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) vì các vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới)". Khẳng định của bạn Lan có đúng không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng lý thuyết về vectơ để liệt kê các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình tứ diện.
- Sử dụng định nghĩa về vectơ bằng nhau để xác định tính đúng sai của khẳng định.
Lời giải chi tiết
a) Số lượng các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện đều ABCD:
- Một tứ diện đều có 4 đỉnh: A, B, C, D.
- Số vectơ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ diện đều là số cặp (không lặp lại) trong 4 đỉnh này.
Số lượng các vectơ là:
\(4 \times 3 = 12\)(vì mỗi đỉnh có 3 đỉnh còn lại để tạo vectơ)
Liệt kê các vectơ:
- Từ đỉnh \(A\): \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \)
- Từ đỉnh \(B\): \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \)
- Từ đỉnh \(C\): \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} \)
- Từ đỉnh \(D\): \(\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {DC} \)
b) Khẳng định của bạn Lan: "\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \) vì các vectơ này có cùng độ dài và cùng hướng (từ trên xuống dưới)".
Để xét khẳng định này, ta cần kiểm tra:
- Độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) có bằng nhau không?
- Hướng của các vectơ này có cùng hướng không?
Trong hình tứ diện đều, các cạnh đều có độ dài bằng nhau:
\(|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AD} |\)
Tuy nhiên, hướng của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không cùng phương, vì:
- \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ từ \(A\) đến \(B\)
- \(\overrightarrow {AC} \) là vectơ từ \(A\) đến \(C\)
- \(\overrightarrow {AD} \) là vectơ từ \(A\) đến \(D\)
Các vectơ này không song song với nhau mà tạo thành các góc với nhau trong không gian.
Vậy, khẳng định của bạn Lan là sai, vì các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) tuy có cùng độ dài nhưng không cùng phương và cùng hướng.
Bài tập 2.1 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 thuộc chương trình học về đạo hàm. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị của hàm số.
Nội dung bài tập 2.1:
Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a; b). Chứng minh rằng nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b).
Lời giải:
Để chứng minh f(x) đồng biến trên (a; b), ta cần chứng minh rằng với mọi x1, x2 thuộc (a; b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
Xét hai điểm x1, x2 bất kỳ thuộc (a; b) sao cho x1 < x2. Theo định lý Lagrange, tồn tại một điểm c thuộc (x1, x2) sao cho:
f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1)
Vì f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b) nên f'(c) > 0. Đồng thời, x2 - x1 > 0 (do x1 < x2).
Do đó, f(x2) - f(x1) = f'(c)(x2 - x1) > 0, suy ra f(x2) > f(x1).
Vậy, f(x) đồng biến trên (a; b).
Các lưu ý khi giải bài tập:
Mở rộng kiến thức:
Bài tập 2.1 là một bài toán cơ bản về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Để hiểu sâu hơn về chủ đề này, bạn có thể tìm hiểu thêm về:
Ví dụ minh họa:
Xét hàm số y = x2. Ta có y' = 2x. Với x > 0, y' > 0, do đó hàm số y = x2 đồng biến trên khoảng (0; +∞). Với x < 0, y' < 0, do đó hàm số y = x2 nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
Bài tập tương tự:
Hãy giải bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 để củng cố kiến thức về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.
Kết luận:
Bài tập 2.1 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 là một bài toán quan trọng giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập tương tự.
Giaibaitoan.com luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc bạn học tập tốt!
| Hàm số y = f(x) | Đạo hàm y' = f'(x) |
|---|---|
| C (hằng số) | 0 |
| xn | nxn-1 |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| ex | ex |
| ln x | 1/x |
