Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - SGK Toán 12: Hướng dẫn chi tiết

Bài 4 trong chương trình Toán 12 tập 1, thuộc chương 1 về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, là một phần quan trọng giúp học sinh nắm vững phương pháp phân tích và biểu diễn hàm số một cách trực quan. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết, từng bước để giải quyết các bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

1. Xác định tập xác định: Tìm khoảng giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
2. Tính đạo hàm cấp nhất: Tính f'(x) và tìm các điểm tới hạn (điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định).
3. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến: Dựa vào dấu của f'(x) để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
4. Tìm cực trị: Sử dụng đạo hàm cấp nhất để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
5. Tính đạo hàm cấp hai: Tính f''(x) và tìm điểm uốn (điểm mà f''(x) = 0 hoặc không xác định).
6. Xác định khoảng lồi, lõm: Dựa vào dấu của f''(x) để xác định khoảng lồi và lõm của hàm số.
7. Tìm tiệm cận: Xác định các đường tiệm cận đứng, ngang và xiên của hàm số.
8. Lập bảng biến thiên: Tổng hợp các thông tin đã tìm được vào bảng biến thiên.
9. Vẽ đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các thông tin khác để vẽ đồ thị hàm số.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x³ - 3x² + 2

1. Tập xác định: D = R
2. Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 6x
3. Điểm tới hạn: y' = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
4. Khoảng đồng biến, nghịch biến:
   • y' > 0 khi x < 0 hoặc x > 2: Hàm số đồng biến trên (-∞; 0) và (2; +∞)
   • y' < 0 khi 0 < x < 2: Hàm số nghịch biến trên (0; 2)
5. Cực trị:
   • x = 0: Điểm cực đại, y = 2
   • x = 2: Điểm cực tiểu, y = -2
6. Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 6
7. Điểm uốn: y'' = 0 ⇔ x = 1
8. Khoảng lồi, lõm:
   • y'' > 0 khi x > 1: Hàm số lồi trên (1; +∞)
   • y'' < 0 khi x < 1: Hàm số lõm trên (-∞; 1)
9. Tiệm cận: Hàm số không có tiệm cận.
10. Bảng biến thiên: (Bảng biến thiên sẽ được trình bày chi tiết)
11. Đồ thị: (Đồ thị hàm số sẽ được vẽ minh họa)

III. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

• Bài 1: Khảo sát hàm số y = x⁴ - 4x² + 3
• Bài 2: Khảo sát hàm số y = (x - 1)/(x + 1)
• Bài 3: Khảo sát hàm số y = x³ + 3x² - 9x + 5

IV. Kết luận

Việc nắm vững phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 12. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin chinh phục môn Toán.