Bài 3. Phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu các tính chất đối xứng của hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và các ứng dụng thực tế của phép đối xứng trục trong chương trình Toán 11 Nâng cao.

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng trục d, ký hiệu là Đ_d.

d được gọi là trục đối xứng của phép đối xứng Đ_d.
M’ được gọi là ảnh của M qua phép đối xứng Đ_d.

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có những tính chất quan trọng sau:

Bảo toàn khoảng cách: Nếu M’ là ảnh của M qua Đ_d, thì khoảng cách từ M đến một điểm bất kỳ trên mặt phẳng bằng khoảng cách từ M’ đến điểm đó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng: Ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng trục là một đường thẳng.
Biến đường tròn thành đường tròn: Ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục là một đường tròn có cùng bán kính.
Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó: Ảnh của một tam giác qua phép đối xứng trục là một tam giác bằng nó.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0. Nếu M(x₀, y₀) là một điểm trên mặt phẳng, thì ảnh M’(x’, y’) của M qua phép đối xứng trục d có tọa độ được tính bởi công thức:

{ "x' = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)", "y' = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)" }

4. Ứng dụng của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các lĩnh vực khác của toán học:

Trong kiến trúc: Các công trình kiến trúc thường sử dụng phép đối xứng trục để tạo ra sự cân đối và hài hòa.
Trong nghệ thuật: Phép đối xứng trục được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật để tạo ra các hiệu ứng thị giác đẹp mắt.
Trong hình học: Phép đối xứng trục được sử dụng để chứng minh các định lý và giải các bài toán hình học.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1, 2) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ ảnh A’ của A qua phép đối xứng trục d.

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ của phép đối xứng trục, ta có:

{ "x' = 1 - 2(1 - 2 + 1) / (1² + (-1)²) = 1", "y' = 2 - 2(-1)(1 - 2 + 1) / (1² + (-1)²) = 2" }

Vậy A’(1, 2).

Ví dụ 2: Cho đường thẳng Δ: 2x + y - 3 = 0. Tìm phương trình ảnh Δ’ của Δ qua phép đối xứng trục d: x + y - 1 = 0.

Giải:

(Bài giải tương tự, sử dụng công thức biến đổi phương trình đường thẳng qua phép đối xứng trục)

6. Kết luận

Bài học về phép đối xứng trục đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ và ứng dụng của phép biến hình quan trọng này. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và tự tin hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.