Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 3 trong SGK Toán 8 tập 2, Chân trời sáng tạo tập trung vào việc khám phá và chứng minh tính chất quan trọng của đường phân giác: tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng trên cạnh đối diện.

1. Định nghĩa đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của tam giác ABC là đoạn thẳng AD, với D nằm trên cạnh BC, sao cho ∠BAD = ∠CAD. Điểm D được gọi là điểm chia cạnh BC.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác được phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc BAC (với D thuộc BC) thì: AB/AC = BD/DC

Tính chất này cho phép chúng ta thiết lập một tỉ lệ thức giữa các cạnh của tam giác và các đoạn thẳng tạo thành trên cạnh đối diện bởi đường phân giác.

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Cụ thể:

Kẻ đường thẳng CE song song với AD (E thuộc BC kéo dài).
Chứng minh tam giác BCE đồng dạng với tam giác ABD (theo trường hợp góc-góc).
Từ đó suy ra tỉ lệ thức AB/BD = CE/BC.
Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác ADC (theo trường hợp góc-góc).
Từ đó suy ra tỉ lệ thức AC/DC = CE/BC.
Chia hai tỉ lệ thức trên, ta được AB/BD = AC/DC, hay AB/AC = BD/DC.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là:

Tính độ dài các đoạn thẳng trên cạnh đối diện khi biết độ dài các cạnh khác và đường phân giác.
Chứng minh một đường thẳng là đường phân giác của một góc trong tam giác.
Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức trong tam giác.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, và đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 4cm và DC = 6cm. Tính độ dài cạnh BC.

Giải: Ta có BC = BD + DC = 4cm + 6cm = 10cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, và đường phân giác AD. Biết BD = 3cm. Tính độ dài DC.

Giải: Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có AB/AC = BD/DC, suy ra 5/7 = 3/DC. Do đó, DC = (3 * 7)/5 = 4.2cm.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tính chất đường phân giác, các em có thể tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 12cm, và đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 6cm và DC = 9cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 7cm, AC = 9cm, và đường phân giác AD. Biết DC = 5cm. Tính độ dài BD.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất đường phân giác của tam giác. Chúc các em học tập tốt!