Bài viết này cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về tính chất đường phân giác của tam giác, thuộc chương trình Toán 8 - Chân trời sáng tạo. Chúng tôi sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, các tính chất quan trọng và cách áp dụng vào giải bài tập.
Giaibaitoan.com là địa chỉ học toán online uy tín, cung cấp kiến thức chính xác, dễ hiểu và hỗ trợ học sinh ôn tập hiệu quả.
Đường phân giác của tam giác có tính chất gì?
1. Tính chất đường phân giác của tam giác
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
AD là đường phân giác của góc A trong \(\Delta ABC\), \(D \in BC\)
\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Ví dụ:
RS là tia phân giác của góc \(\widehat {PRQ}\). Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{SQ}}{{SR}} = \frac{{RQ}}{{RP}}\\ \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{x}{6}\\ \Leftrightarrow x = 12\end{array}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.
Đường phân giác của một góc của tam giác là tia phân giác của góc đó. Nói cách khác, đường phân giác chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm nằm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là:
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề góc đó.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc BAC (D nằm trên BC). Khi đó:
BD / CD = AB / AC
Chứng minh:
Kẻ BE là đường phân giác của góc ABD (E nằm trên AD). Khi đó:
AB / BD = AE / ED (Tính chất đường phân giác của tam giác ABD)
AC / CD = AE / ED (Tính chất đường phân giác của tam giác ACD)
Từ hai phương trình trên, suy ra:
AB / BD = AC / CD
BD / CD = AB / AC (đpcm)
Tính chất đường phân giác của tam giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức và tính độ dài đoạn thẳng.
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc BAC. Tính độ dài BD và CD.
Giải:
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:
BD / CD = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3
Mà BD + CD = BC = 10cm. Đặt BD = 2x, CD = 3x. Khi đó:
2x + 3x = 10cm
5x = 10cm
x = 2cm
Vậy BD = 2x = 4cm và CD = 3x = 6cm.
Khi áp dụng tính chất đường phân giác, cần chú ý xác định đúng đỉnh của góc và cạnh đối diện. Đồng thời, cần đảm bảo rằng điểm nằm trên đường phân giác và cách đều hai cạnh của góc đó.
Lý thuyết về tính chất đường phân giác của tam giác là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững lý thuyết và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.
