Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Phân thức đại số trong chương trình Toán 8 - Chân trời sáng tạo tại giaibaitoan.com. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về phân thức đại số, giúp bạn tự tin giải các bài tập liên quan.
Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, điều kiện xác định, các phép toán trên phân thức đại số và ứng dụng của chúng trong giải toán.
Phân thức đại số là gì?
1. Khái niệm phân thức đại số
Một phân thức đại số (hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.
A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).
Chú ý: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1.
Ví dụ: \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}};\frac{{ab}}{{a + b}};{x^2} + 3x + 2;\sqrt 2 \) là các phân thức đại số.
\(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là phân thức vì \(\sqrt x ;\sqrt[3]{x}\) không phải là đa thức.
2. Điều kiện xác định của phân thức
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.
Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (sao cho phân thức xác định), rồi thực hiện các phép tính thì ta nhận được giá trị của phân thức đại số đó tại các giá trị của biến.
Ví dụ: Phân thức P = \(\frac{{x + 3}}{{x - 1}}\) xác định khi \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\)
Tại x = 3, \(P = \frac{{3 + 3}}{{3 - 1}} = \frac{6}{2} = 3\)
3. Hai phân thức bằng nhau
Ta nói hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) bằng nhau nếu A.D = B.C. Khi đó, ta viết
\(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\).
Ví dụ: Hai phân thức \(\frac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\frac{{xy}}{{x + 1}}\) bằng nhau.
4. Tính chất
Khi nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A.C}}{{B.C}}\) (C là một đa thức khác đa thức không).
Khi chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
\(\frac{A}{B} = \frac{{A:D}}{{B:D}}\) (D là một đa thức nhân tử chung).
Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)
Phân thức đại số là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 8, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn ở các lớp trên. Hiểu rõ lý thuyết về phân thức đại số là điều kiện cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng P(x) / Q(x), trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức, và Q(x) khác 0. P(x) được gọi là tử số, Q(x) được gọi là mẫu số.
Một phân thức đại số chỉ có nghĩa khi mẫu số khác 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm các giá trị của x sao cho Q(x) ≠ 0. Các giá trị này được gọi là điều kiện xác định của phân thức.
Ví dụ: Phân thức x + 1 / x - 2 có điều kiện xác định là x ≠ 2.
Hai phân thức A / B và C / D được gọi là bằng nhau nếu AD = BC. Tính chất này được sử dụng để rút gọn phân thức và giải các bài toán liên quan.
Rút gọn phân thức đại số là việc tìm một phân thức mới có tử số và mẫu số đơn giản hơn nhưng vẫn bằng phân thức ban đầu. Để rút gọn phân thức, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Rút gọn phân thức x2 - 1 / x + 1.
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số được thực hiện tương tự như các phép toán trên phân số, nhưng cần chú ý đến điều kiện xác định của các phân thức.
Để củng cố kiến thức về phân thức đại số, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Phân thức đại số SGK Toán 8 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!
