Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu - Toán 12 Kết nối tri thức

Bài 4 trong chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu của Toán 12 Kết nối tri thức là một bước tiến quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán thực tế. Bài học này không chỉ củng cố kiến thức về đạo hàm mà còn giúp học sinh làm quen với việc phân tích và giải quyết các vấn đề tối ưu hóa trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:

• Đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số: Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương, nghịch biến khi đạo hàm âm.
• Cực trị của hàm số: Điểm cực đại, cực tiểu là điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại và đạo hàm đổi dấu.
• Bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất (max) hoặc nhỏ nhất (min) của hàm số trên một khoảng cho trước.

II. Phương pháp giải bài toán tối ưu

Để giải quyết bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số: Biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa dưới dạng hàm số của một hoặc nhiều biến.
2. Tìm tập xác định: Xác định miền giá trị của các biến.
3. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số.
4. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị.
5. Kiểm tra điều kiện: Kiểm tra xem các điểm cực trị có thuộc tập xác định hay không.
6. Tính giá trị: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định.
7. Kết luận: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn xây một chuồng trại hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi chu vi của chuồng trại nhỏ nhất có thể là bao nhiêu?

Giải:

• Gọi chiều dài và chiều rộng của chuồng trại lần lượt là x và y.
• Diện tích chuồng trại: xy = 100
• Chu vi chuồng trại: P = 2(x + y)
• Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào P, ta được P(x) = 2(x + 100/x)
• Tính đạo hàm: P'(x) = 2(1 - 100/x²)
• Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10 (chỉ xét x > 0)
• Khi x = 10, y = 10. Vậy chu vi nhỏ nhất là P = 2(10 + 10) = 40m.

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5 trên khoảng [-1; 3].
2. Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ có thể tích 1000cm³. Hỏi bán kính đáy của hộp thiếc phải bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hộp thiếc nhỏ nhất?

V. Lời khuyên

Để học tốt bài 4 này, các em cần:

• Nắm vững lý thuyết về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm.
• Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để làm quen với các dạng bài.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi hoặc phần mềm giải toán để kiểm tra kết quả.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!