Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải nắm vững các kiến thức về đạo hàm, cực trị và tính đơn điệu của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh có thể tự học và ôn tập hiệu quả.
Người ta muốn kéo một đường dây điện tử nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C
Đề bài
Người ta muốn kéo một đường dây điện tử nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (Hình 2.18). Tìm vị trí điểm S sao cho chi phí kéo đường dây là nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết
Đặt \(BS = x{\rm{ }}(m)\)\((0 \le x \le 4)\). Khi đó, \(SA = 4 - x;CS = \sqrt {1 + {x^2}} \)
Khi đó, chi phí cần bỏ ra là: \(f(x) = 5{\rm{ }}000\sqrt {1 + {x^2}} + 3{\rm{ }}000(4 - x)\), \(x \in \left[ {0;4} \right]\)
\(f'(x) = \frac{{5{\rm{ }}000x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} - 3{\rm{ }}000\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {1 + {x^2}} = 5x \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\)
Ta có \(f(0) = 17{\rm{ }}000;f\left( {\frac{3}{4}} \right) = 16{\rm{ }}000;f(4) \approx 20{\rm{ }}616\). Ta thấy GTNN ứng với \(x = \frac{3}{4}\).
Vậy điểm S trên bờ biển cần tìm cách A một khoảng \(4 - \frac{3}{4} = \frac{{13}}{4}(km)\).
Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài toán điển hình về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Từ các kết quả trên, chúng ta có thể vẽ được đồ thị hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh có thể tự tin giải bài 2.7 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!
