Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài tập cuối chuyên đề 1 - Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Chuyên đề 1 của chương trình Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào lý thuyết xác suất, đặc biệt là biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng của chúng. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia.

I. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ: số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lỗi trong một lô sản phẩm.

II. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Giá trị kỳ vọng (E(X)): Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng tổng của tích mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên với xác suất tương ứng. Công thức: E(X) = Σ(xi * P(xi)).
2. Phương sai (Var(X)): Đo lường mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên so với giá trị kỳ vọng. Công thức: Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ((xi - E(X))^2 * P(xi)).
3. Độ lệch chuẩn (σ(X)): Căn bậc hai của phương sai, cũng đo lường mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên. Công thức: σ(X) = √Var(X).

III. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Gọi X là số quả bóng đỏ được lấy ra. Tính E(X), Var(X) và σ(X).

Giải:

• X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
• P(X=0) = C(3,2) / C(8,2) = 3/28
• P(X=1) = C(5,1) * C(3,1) / C(8,2) = 15/28
• P(X=2) = C(5,2) / C(8,2) = 10/28
• E(X) = 0 * (3/28) + 1 * (15/28) + 2 * (10/28) = 35/28 = 1.25
• Var(X) = (0-1.25)^2 * (3/28) + (1-1.25)^2 * (15/28) + (2-1.25)^2 * (10/28) = 0.3929
• σ(X) = √0.3929 ≈ 0.6268

IV. Các dạng bài tập thường gặp

Các bài tập về biến ngẫu nhiên rời rạc thường yêu cầu tính:

• Xác suất của các sự kiện liên quan đến biến ngẫu nhiên.
• Giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên.
• Giải các bài toán thực tế ứng dụng biến ngẫu nhiên rời rạc.

V. Lời khuyên khi giải bài tập

Để giải tốt các bài tập về biến ngẫu nhiên rời rạc, bạn cần:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Hiểu rõ công thức tính giá trị kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
• Luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính bỏ túi để tính toán nhanh chóng và chính xác.

Hy vọng với những kiến thức và bài tập được trình bày trên đây, bạn sẽ có thêm sự tự tin để chinh phục chuyên đề 1 Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc bạn học tập tốt!