Bài 1.15 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài 1.15 này ngay dưới đây!
Một cuộc thi gồm hai loại câu hỏi. Câu hỏi loại 1 và câu hỏi loại 2. Ở vòng 1 thí sinh bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại (i in left{ {1;{rm{ }}2} right}). Nếu trả lời sai thì thí sinh dừng cuộc thi tại đây. Nếu trả lời đúng, thí sinh sẽ đi tiếp vào vòng 2, tiếp tục bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại (j in left{ {1;{rm{ }}2} right}(j ne i).) Sau khi thí sinh trả lời câu hỏi này, cuộc thi kết thúc. Thí sinh sẽ nhận được ({V_i}) điểm nếu trả lời đúng câu hỏi loại (i in left{ {1;{rm{
Đề bài
Một cuộc thi gồm hai loại câu hỏi. Câu hỏi loại 1 và câu hỏi loại 2. Ở vòng 1 thí sinh bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại \(i \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}\). Nếu trả lời sai thì thí sinh dừng cuộc thi tại đây. Nếu trả lời đúng, thí sinh sẽ đi tiếp vào vòng 2, tiếp tục bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại \(j \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}(j \ne i).\) Sau khi thí sinh trả lời câu hỏi này, cuộc thi kết thúc. Thí sinh sẽ nhận được \({V_i}\) điểm nếu trả lời đúng câu hỏi loại \(i \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}\). Giả thiết rằng việc trả lời đúng câu hỏi vòng 1 sẽ không ảnh hưởng đến xác suất trả lời đúng hay sai câu hỏi ở vòng 2. Bạn An tham gia cuộc thi. Gọi \({E_i}\) là biển cố: "An trả lời đúng câu hỏi loại \(i\)”(\(i \in \left\{ {1;{\rm{ }}2} \right\}\)). Giả sử \(P(E) = {p_i}\).
a) Với điều kiện nào thì ở vòng 1, An nên bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1?
b) Giả sử \({p_1} = 0,6;{p_2} = 0,8;{V_1} = 20;{V_2} = 10\). Khi đó ở vòng 1, An nên bắc ngẫu nhiên câu hỏi loại nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng tính chất của biến ngẫu nhiên rời rạc, công thức nhân xác suất của 2 biến cố độc lập.
Lời giải chi tiết
Trường hợp 1: Nếu ở vòng 1 An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 1.
+ Nếu trả lời sai thì An được 0 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây.
Vậy \(P({X_1} = 0) = P(\overline {{E_1}} ) = 1 - {p_1}.\)
+ Nếu trả lời đúng thì An nhận \({V_1}\) điểm và An được đi tiếp vòng 2: Bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại 2.
\({E_i}\) là biến cố: “Trả lời đúng câu hỏi loại \(i\)”, \(i \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Nếu trả lời sai câu hỏi loại 2 thì An nhận 0 điểm. Cuộc thi kết thúc và An nhận được \({V_1}\) điểm.
Theo giả thiết \({E_1},\overline {{E_2}} \) là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P({X_1} = {V_1}) = P({E_1}\overline {{E_2}} ) = P({E_1}).P(\overline {{E_2}} ) = {p_1}(1 - {p_2})\)
Nếu trả lời đúng câu hỏi loại 2 thì An nhận \({V_2}\) điểm. Cuộc thi kết thúc và An nhận được \({V_1} + {V_2}\) điểm.
Theo giả thiết \({E_1},{E_2}\) là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P({X_1} = {V_1} + {V_2}) = P({E_1}{E_2}) = P({E_1}).P({E_2}) = {p_1}{p_2}\)
Ta có bảng phân bố xác suất của \({X_1}\) là:
\(E({X_1}) = {V_1}{p_1}(1 - {p_2}) + \left( {{V_1} + {V_2}} \right){p_1}{p_2}\)
Trường hợp 2: Nếu ở vòng 1 An bốc ngẫu nhiên câu hỏi loại 2.
Tương tự trường hợp 1, ta có bảng phân bố xác suất của \({X_2}\) là:
\(E({X_2}) = {V_2}{p_2}(1 - {p_1}) + \left( {{V_1} + {V_2}} \right){p_1}{p_2}\)
a) Ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 1 trước nếu:
\(\begin{array}{l}E({X_1}) \ge E({X_2}) \Leftrightarrow {V_1}{p_1}(1 - {p_2}) + \left( {{V_1} + {V_2}} \right){p_1}{p_2} > {V_2}{p_2}(1 - {p_1}) + \left( {{V_1} + {V_2}} \right){p_1}{p_2}\\{\rm{ }} \Leftrightarrow {V_1}{p_1}(1 - {p_2}) \ge {V_2}{p_2}(1 - {p_1})\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{{{V_1}{p_1}}}{{1 - {p_1}}} \ge \frac{{{V_2}{p_2}}}{{1 - {p_2}}}\end{array}\)
b) Ta có: \(\frac{{{V_1}{p_1}}}{{1 - {p_1}}} = \frac{{20.0,6}}{{1 - 0,6}} = 30;\frac{{{V_2}{p_2}}}{{1 - {p_2}}} = \frac{{10.0,8}}{{1 - 0,8}} = 40\)
Ta thấy \(\frac{{{V_1}{p_1}}}{{1 - {p_1}}} < \frac{{{V_2}{p_2}}}{{1 - {p_2}}}\)nên ở vòng 1 An nên chọn câu hỏi loại 2 trước.
Bài 1.15 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc khảo sát hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số được đề cập trong bài toán và xác định tập xác định của hàm số đó. Việc này giúp chúng ta giới hạn phạm vi nghiên cứu và tránh các lỗi sai không đáng có.
Tiếp theo, chúng ta cần tính đạo hàm cấp nhất của hàm số và tìm các điểm cực trị. Điểm cực trị là những điểm mà tại đó đạo hàm cấp nhất bằng 0 hoặc không tồn tại. Việc tìm điểm cực trị giúp chúng ta xác định các điểm cao nhất và thấp nhất của hàm số.
Bảng biến thiên là một công cụ quan trọng giúp chúng ta hình dung được sự biến đổi của hàm số trên toàn bộ tập xác định. Bảng biến thiên bao gồm các thông tin về dấu của đạo hàm cấp nhất, giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm đặc biệt khác.
Dựa vào dấu của đạo hàm cấp nhất, chúng ta có thể xác định được khoảng nào hàm số đồng biến và khoảng nào hàm số nghịch biến. Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số.
Sử dụng thông tin từ bảng biến thiên, chúng ta có thể xác định được giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số. Đây là những giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà hàm số đạt được trên một khoảng nhất định.
Sau khi đã nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và khảo sát hàm số, chúng ta có thể áp dụng chúng để giải quyết bài toán cụ thể được đề cập trong bài 1.15 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức.
Giả sử hàm số được đề cập trong bài toán là f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau để giải bài toán:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải bài 1.15 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
