Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Hãy cùng khám phá lời giải chi tiết của bài 2.14 này ngay dưới đây!
Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức (F = frac{{cmg}}{{csin theta + cos theta }}) trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi (tan theta = c.)
Đề bài
Một vật nặng có khối lượng m được kéo dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhờ một sợi dây hợp với phương ngang một góc 0. Trong Vật lí, ta biết rằng lực kéo F cần thiết để di chuyển vật được cho bởi công thức
\(F = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta + \cos \theta }}\)
trong đó g là gia tốc trọng trưởng và c là hệ số ma sát của bề mặt (Theo Sullivan and Miranda, Calculus, W.H. Freeman and Company, 2014). Chứng tỏ rằng lực kéo F nhỏ nhất khi \(\tan \theta = c.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu.
Lời giải chi tiết
Xét \(F\left( \theta \right) = \frac{{cmg}}{{c\sin \theta + \cos \theta }},\theta \in \left[ {0^\circ ,90^\circ } \right]\).
\(\begin{array}{l}F'\left( \theta \right) = \frac{{ - cmg\left( {c.c{\rm{os}}\theta - \sin \theta } \right)}}{{{{\left( {c\sin \theta + \cos \theta } \right)}^2}}}\\F'\left( \theta \right) = 0 \Leftrightarrow c.c{\rm{os}}\theta - \sin \theta = 0 \Leftrightarrow \tan \theta = c\end{array}\)
Giả sử \(\theta = {\theta _0}\) thỏa mãn \(\tan {\theta _0} = c\).
Ta thấy: Khi \(0 \le \theta < {\theta _0}\) thì \(F'(\theta ) < 0\), khi \({\theta _0} < \theta \le 90^\circ \) thì \(F'(\theta ) > 0\).
Do đó lực kéo F nhỏ nhất tại \(\theta = {\theta _0}\) tức là khi \(\tan {\theta _0} = c\).
Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Đầu tiên, cần xác định rõ hàm số biểu diễn đại lượng cần tối ưu hóa. Trong bài toán này, hàm số có thể là biểu thức tính diện tích, chi phí, lợi nhuận, hoặc bất kỳ đại lượng nào khác mà bài toán yêu cầu.
Xác định tập xác định của hàm số là bước quan trọng để đảm bảo rằng các giá trị của biến số nằm trong phạm vi cho phép. Tập xác định có thể bị giới hạn bởi các điều kiện thực tế của bài toán.
Tính đạo hàm cấp một của hàm số để tìm các điểm cực trị. Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm nhất định.
Giải phương trình đạo hàm cấp một bằng 0 để tìm các điểm cực trị. Các điểm cực trị là các điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cục bộ.
Xét dấu đạo hàm cấp một trên các khoảng xác định để xác định tính đơn điệu của hàm số. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Dựa vào các điểm cực trị và tính đơn điệu của hàm số, xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định. Lưu ý rằng giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm cực trị hoặc tại các điểm biên của tập xác định.
Để minh họa các bước trên, chúng ta sẽ cùng giải bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức. (Nội dung lời giải chi tiết sẽ được trình bày tại đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và kết luận chính xác.)
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cố định sao cho chu vi nhỏ nhất. Chúng ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu của các biến số.
Khi giải các bài toán tối ưu hóa, cần lưu ý một số điểm sau:
Bài 2.14 trang 44 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Bằng cách nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức đã học, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
