Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức, chuyên đề về biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng lý thuyết và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất thống kê. Bài 1, tập trung vào biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của nó, là bước khởi đầu cần thiết để nắm vững kiến thức cốt lõi của chuyên đề này.

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc là gì?

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị. Ví dụ, số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa, số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng, hoặc số học sinh đạt điểm giỏi trong một lớp học đều là các biến ngẫu nhiên rời rạc.

2. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc mô tả khả năng mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên xảy ra. Nó được biểu diễn bằng một hàm số, gọi là hàm phân phối xác suất, ký hiệu là P(X = x), trong đó X là biến ngẫu nhiên và x là một giá trị cụ thể của X. Hàm phân phối xác suất phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

• 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x
• ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị của X phải bằng 1)

3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Để mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta sử dụng các số đặc trưng sau:

• Kỳ vọng (E(X)): Là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, được tính bằng công thức E(X) = ∑ x * P(X = x). Kỳ vọng cho biết giá trị mà chúng ta có thể mong đợi nhận được nếu thực hiện một số lượng lớn các phép thử độc lập.
• Phương sai (Var(X)): Là độ đo mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh kỳ vọng, được tính bằng công thức Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∑ (x - E(X))^2 * P(X = x).
• Độ lệch chuẩn (σ(X)): Là căn bậc hai của phương sai, được tính bằng công thức σ(X) = √Var(X). Độ lệch chuẩn cho biết mức độ biến động của biến ngẫu nhiên.

4. Ví dụ minh họa

Xét một biến ngẫu nhiên X biểu thị số lần xuất hiện mặt sáu khi tung một con xúc xắc công bằng hai lần. Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, và 2. Ta có thể tính hàm phân phối xác suất, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X như sau:

E(X) = 0 * (25/36) + 1 * (10/36) + 2 * (1/36) = 12/36 = 1/3

Var(X) = (0 - 1/3)^2 * (25/36) + (1 - 1/3)^2 * (10/36) + (2 - 1/3)^2 * (1/36) = 5/9

σ(X) = √(5/9) = √5 / 3

5. Ứng dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của nó có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Thống kê kinh tế: Dự báo doanh thu, chi phí, lợi nhuận, và rủi ro trong kinh doanh.
• Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm dựa trên xác suất xảy ra các sự kiện rủi ro.
• Y học: Nghiên cứu tỷ lệ mắc bệnh, hiệu quả của các phương pháp điều trị, và dự đoán tuổi thọ.
• Kỹ thuật: Đánh giá độ tin cậy của các hệ thống kỹ thuật, kiểm soát chất lượng sản phẩm, và tối ưu hóa quy trình sản xuất.

Hi vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của nó. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.