Giải bài 3.18 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 3.18 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Phân tích và Lời giải chi tiết

Bài 3.18 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để tìm cực trị của hàm số và xác định các điểm nhị phân. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số: Kiểm tra xem hàm số có điều kiện gì về tập xác định hay không.
2. Tính đạo hàm bậc nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm f'(x) của hàm số.
3. Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng không. Đây là các điểm nghi ngờ là cực trị.
4. Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại một điểm, điểm đó là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, điểm đó là điểm cực tiểu.
5. Tính đạo hàm bậc hai: Tính đạo hàm f''(x) của hàm số.
6. Xác định điểm uốn: Giải phương trình f''(x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là điểm uốn.
7. Khảo sát dấu của đạo hàm bậc hai: Xác định dấu của f''(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm uốn. Nếu f''(x) đổi dấu tại một điểm, điểm đó là điểm uốn.
8. Kết luận: Tổng hợp các kết quả để xác định các điểm cực trị, điểm uốn và khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là f(x) = x³ - 3x² + 2. Chúng ta sẽ áp dụng các bước trên để giải bài toán:

• Tập xác định: R
• Đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 3x² - 6x
• Điểm dừng: 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• Khảo sát dấu của đạo hàm bậc nhất:
  • x < 0: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
  • 0 < x < 2: f'(x) < 0 (hàm số nghịch biến)
  • x > 2: f'(x) > 0 (hàm số đồng biến)
• Đạo hàm bậc hai: f''(x) = 6x - 6
• Điểm uốn: 6x - 6 = 0 => x = 1
• Khảo sát dấu của đạo hàm bậc hai:
  • x < 1: f''(x) < 0 (hàm số lõm)
  • x > 1: f''(x) > 0 (hàm số lồi)
• Kết luận:
  • Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2
  • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = -2
  • Hàm số có điểm uốn tại x = 1

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài toán về khảo sát hàm số, cần chú ý các điểm sau:

• Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm chính xác.
• Khảo sát dấu của đạo hàm một cách cẩn thận để xác định đúng các điểm cực trị và điểm uốn.
• Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

Ứng dụng của việc giải bài 3.18

Việc nắm vững phương pháp giải bài 3.18 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức không chỉ giúp bạn giải quyết bài toán cụ thể này mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán khảo sát hàm số phức tạp hơn trong chương trình Toán 12 và các kỳ thi quan trọng như THPT Quốc gia.

Tổng kết

Bài 3.18 trang 68 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và các lưu ý quan trọng trên, bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự.