Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này thường yêu cầu học sinh phải nắm vững các kiến thức về đạo hàm, cực trị và tính đơn điệu của hàm số.
Tại giaibaitoan.com, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho bài tập này, giúp các em học sinh có thể tự học và ôn tập hiệu quả. Hãy cùng theo dõi lời giải dưới đây để hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này nhé!
Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đề bài
Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.
Lời giải chi tiết
Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật, y là chiều dài của hình chữ nhật (\(0 \le x,y \le 10\), mét)
Khi đó, bán kính hình tròn là \(\frac{x}{2}\) Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn: \(\frac{{\pi x}}{2}\)
Độ dài mép ngoài cửa sổ là: \(x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 10 \Rightarrow y = \frac{{20 - \pi x - 2x}}{4}\)
Diện tích cửa sổ là: \(S(x) = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + x.\frac{{20 - \pi x - 2x}}{4} = \frac{{ - \pi - 4}}{8}{x^2} + 5x\)
\(\begin{array}{l}S'(x) = \frac{{ - \pi - 4}}{4}x + 5\\S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{20}}{{\pi + 4}}\end{array}\)
Ta có: \(S(0) = 0;S\left( {\frac{{20}}{{\pi + 4}}} \right) \approx 7;S(10) = - 12,5\pi \)
Vậy \({x_{{\rm{max}}}} = \frac{{20}}{{\pi + 4}} \approx 2,8(m),y \approx 1,4(m)\).
Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 và thực hiện các yêu cầu sau:
1. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số:
Để xác định khoảng đơn điệu của hàm số, ta cần tính đạo hàm bậc nhất f'(x) và xét dấu của nó.
f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2)
f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.
Ta lập bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | + |
| f(x) | Đồng biến | Nghịch biến | Đồng biến |
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).
2. Tìm cực trị của hàm số:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là f(2) = 2 - 3(22) + 2 = -2.
3. Vẽ đồ thị hàm số:
Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định các điểm đặc biệt như:
Dựa vào các điểm đặc biệt và khoảng đơn điệu, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Kết luận:
Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập điển hình về khảo sát hàm số bằng đạo hàm. Việc nắm vững các bước giải và áp dụng linh hoạt các kiến thức về đạo hàm, cực trị và tính đơn điệu của hàm số là rất quan trọng để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Hy vọng với lời giải chi tiết trên, các em học sinh có thể hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự và các tài liệu học tập khác tại giaibaitoan.com để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán của mình.
Việc luyện tập thường xuyên và nắm vững các kiến thức cơ bản là chìa khóa để thành công trong môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
